Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
sumn=1^infty (-1)^n-1 nn^2+1

Passo 1

Estamos lidando com uma série infinita: sumn=1^infty (-1)^n-1 nn^2+1. O objetivo é determinar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar os testes de convergência de séries, especificamente o Teste da Série Alternada, que é útil para séries que alternam sinais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a série dada é uma série alternada porque o termo (-1)^n-1 faz com que os termos da série mudem de sinal conforme n aumenta.

Passo 3

O Teste da Série Alternada nos diz que uma série alternada da forma sum (-1)^n bn converge se duas condições forem atendidas:
  1. Os termos bn são positivos.
  2. bn é uma sequência decrescente e limn to infty bn = 0.
Vamos verificar essas condições para nossa série.

Passo 4

Identificamos bn = nn^2+1. Primeiramente, vamos verificar o limite:
Então, a primeira condição está satisfeita.

Passo 5

Agora, vamos verificar se bn é uma sequência decrescente. Observamos que, para aumentar n, o denominador cresce mais rápido que o numerador, o que faz com que os termos diminuam:
bn+1 = n+1(n+1)^2+1 < nn^2+1 = bn para todo n >= 1
Portanto, a sequência bn é decrescente.

Resposta

Como ambas as condições do Teste da Série Alternada são atendidas, a série sumn=1^infty (-1)^n-1 nn^2+1 converge.

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
§ x y' = y + x e^(2 y / x)
Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.
sumn=1^infty 1arctan n
Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
sumn=1^infty (-1)^n(arctan n)^n
Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.
sumn=1^infty n^3e^n-1