Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
Passo 1
Estamos lidando com uma série infinita:
. O objetivo é determinar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar os testes de convergência de séries, especificamente o Teste da Série Alternada, que é útil para séries que alternam sinais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a série dada é uma série alternada porque o termo
faz com que os termos da série mudem de sinal conforme
aumenta.
Passo 3
O Teste da Série Alternada nos diz que uma série alternada da forma
converge se duas condições forem atendidas:
- Os termos
são positivos. -
é uma sequência decrescente e .
Vamos verificar essas condições para nossa série.
Passo 4
Identificamos
. Primeiramente, vamos verificar o limite:
Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 5
Agora, vamos verificar se
é uma sequência decrescente. Observamos que, para aumentar
, o denominador cresce mais rápido que o numerador, o que faz com que os termos diminuam:
Portanto, a sequência
é decrescente.
Resposta
Como ambas as condições do Teste da Série Alternada são atendidas, a série
converge.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
§
§
Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.
Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.