Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos analisar a convergência da série
usando o Teste de Comparação por Limites. Primeiro, precisamos entender que estamos trabalhando com séries infinitas e queremos descobrir se essa série específica converge ou não. Para isso, vamos comparar com uma série conhecida e usar o limite entre os termos das duas séries.
Passo 2
Vamos escolher uma série de comparação que seja mais simples e cujo comportamento de convergência já conhecemos. Observando a expressão
, percebemos que para
grande,
domina o -1, então podemos aproximar
. Assim, a série de comparação que escolhemos é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite do quociente entre os termos das duas séries conforme
tende ao infinito:
Simplificando, temos:
Esse limite é um número real positivo e diferente de zero.
Passo 4
Como o limite entre os termos das duas séries é 1, que é um número positivo e finito, e sabemos que a série de comparação
converge (pela série geométrica ou teste da razão), podemos concluir, pelo Teste de Comparação por Limites, que a série original
também converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste de Comparação por Limites.