Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.
sumn=1^infty n^3e^n-1

Passo 1

Beleza, vamos analisar a convergência da série usando o Teste de Comparação por Limites. Primeiro, precisamos entender que estamos trabalhando com séries infinitas e queremos descobrir se essa série específica converge ou não. Para isso, vamos comparar com uma série conhecida e usar o limite entre os termos das duas séries.

Passo 2

Vamos escolher uma série de comparação que seja mais simples e cujo comportamento de convergência já conhecemos. Observando a expressão , percebemos que para grande, domina o -1, então podemos aproximar . Assim, a série de comparação que escolhemos é .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite do quociente entre os termos das duas séries conforme limn to infty n^3e^n-1n^3e^n = limn to infty e^ne^n-1 tende ao infinito:
limn to infty e^ne^n-1 = limn to infty 11 - 1e^n = 1
Simplificando, temos:
Esse limite é um número real positivo e diferente de zero.

Passo 4

Como o limite entre os termos das duas séries é 1, que é um número positivo e finito, e sabemos que a série de comparação converge (pela série geométrica ou teste da razão), podemos concluir, pelo Teste de Comparação por Limites, que a série original também converge.

Resposta

A série converge pelo Teste de Comparação por Limites.

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(a) (x+y) dx + x dy = 0
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lim n infty|an+1an|=1e