Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos analisar a convergência da série
usando o Teste de Comparação por Limites. Primeiro, precisamos entender que estamos trabalhando com séries infinitas e queremos descobrir se essa série específica converge ou não. Para isso, vamos comparar com uma série conhecida e usar o limite entre os termos das duas séries.
Passo 2
Vamos escolher uma série de comparação que seja mais simples e cujo comportamento de convergência já conhecemos. Observando a expressão
, percebemos que para
grande,
domina o -1, então podemos aproximar
. Assim, a série de comparação que escolhemos é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite do quociente entre os termos das duas séries conforme
tende ao infinito:
Simplificando, temos:
Esse limite é um número real positivo e diferente de zero.
Passo 4
Como o limite entre os termos das duas séries é 1, que é um número positivo e finito, e sabemos que a série de comparação
converge (pela série geométrica ou teste da razão), podemos concluir, pelo Teste de Comparação por Limites, que a série original
também converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste de Comparação por Limites.
Exercícios relacionados
Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(a)
(a)
O que dizer da série
nos casos abaixo?