Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
§ x y' = y + x e^(2 y / x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para resolvermos uma equação homogênea de primeira ordem:
Isso significa que a equação envolve derivadas de primeira ordem e que podemos usar uma substituição para simplificá-la. Vamos precisar usar técnicas de substituição para equações homogêneas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a equação é homogênea. Para isso, fazemos uma substituição que simplifique a expressão. Vamos definir:
Isso significa que .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Usando a regra do produto:
Onde é a derivada de em relação a .

Passo 4

Substituímos e na equação original:
Simplificando os termos:

Passo 5

Podemos cancelar de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Agora temos uma equação separável. Vamos separar as variáveis e :

Passo 7

Integrando ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é:
E do lado direito:
Podemos combinar as constantes e em uma só constante :

Passo 8

Agora, substituímos de volta por :
Multiplicando ambos os lados por -2:
Onde .

Passo 9

Resolvendo para :
Multiplicando ambos os lados por :
Podemos simplificar a constante para apenas :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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