Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
§
§
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para resolvermos uma equação homogênea de primeira ordem:
Isso significa que a equação envolve derivadas de primeira ordem e que podemos usar uma substituição para simplificá-la. Vamos precisar usar técnicas de substituição para equações homogêneas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a equação é homogênea. Para isso, fazemos uma substituição que simplifique a expressão. Vamos definir:
Isso significa que
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
. Usando a regra do produto:
Onde
é a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Substituímos
e
na equação original:
Simplificando os termos:
Passo 5
Podemos cancelar
de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Agora temos uma equação separável. Vamos separar as variáveis
e
:
Passo 7
Integrando ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é:
E do lado direito:
Podemos combinar as constantes
e
em uma só constante
:
Passo 8
Agora, substituímos
de volta por
:
Multiplicando ambos os lados por -2:
Onde
.
Passo 9
Resolvendo para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Podemos simplificar a constante
para apenas
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
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