Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se a série infinita
converge ou diverge.
Conteúdo da matéria envolvido:
- Séries infinitas
- Testes de convergência (como o Teste da Razão)
- Fatoriais e propriedades exponenciais
Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é muito útil para séries que envolvem fatoriais e potências como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série
analisando o limite:
- Se
, a série converge. - Se
ou é infinito, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
. Vamos aplicar esse teste.
Passo 3
Vamos calcular
an+1an = (n+1)^2 2^n+1(n+1)! cdot n!n^2 2^n = (n+1)^2 cdot 2 cdot n!(n+1) cdot n^2 cdot n! = (n+1)^2 cdot 2(n+1) cdot n^2 :
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando
L = limn to infty 2 cdot n+1n^2 = 2 cdot limn to infty n+1n^2 tende ao infinito:
Podemos dividir o numerador e o denominador por
L = 2 cdot 0 = 0 :
Então:
Passo 5
De acordo com o Teste da Razão:
- Se
, a série converge.
No nosso caso,
, então a série
converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
sumn=1^infty sen n4^n
O que dizer da série
sumn=1^infty an nos casos abaixo?
lim n infty|an+1an|=raiz2
Para a função
f definida por
indique o valor de cada quantidade
f(2)
Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.
sumn=1^infty ln nn!