Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
sumn=1^infty n^2 2^nn!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se a série infinita converge ou diverge.
Conteúdo da matéria envolvido:
  • Séries infinitas
  • Testes de convergência (como o Teste da Razão)
  • Fatoriais e propriedades exponenciais
Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é muito útil para séries que envolvem fatoriais e potências como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série L = limn to infty | an+1an | analisando o limite:
  • Se , a série converge.
  • Se ou é infinito, a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, . Vamos aplicar esse teste.

Passo 3

Vamos calcular an+1an = (n+1)^2 2^n+1(n+1)! cdot n!n^2 2^n = (n+1)^2 cdot 2 cdot n!(n+1) cdot n^2 cdot n! = (n+1)^2 cdot 2(n+1) cdot n^2 :
Simplificando:
an+1an = (n+1) cdot 2n^2 = 2 cdot n+1n^2

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty 2 cdot n+1n^2 = 2 cdot limn to infty n+1n^2 tende ao infinito:
n+1n^2 = 1n + 1n^2 0 + 0 = 0 quando n to infty
Podemos dividir o numerador e o denominador por L = 2 cdot 0 = 0 :
Então:

Passo 5

De acordo com o Teste da Razão:
  • Se , a série converge.
No nosso caso, , então a série converge.

Resposta

A série converge.

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Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
sumn=1^infty sen n4^n
O que dizer da série sumn=1^infty an nos casos abaixo?
lim n infty|an+1an|=raiz2
Para a função f definida por
f(x)= -x-1 & se x<0 -x^2-1 & se 0 <= x<1 0 & se x=1 x-3 & se 1= 2
indique o valor de cada quantidade
f(2)
Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.
sumn=1^infty ln nn!