Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
sumn=1^infty sen n4^n

Passo 1

Beleza, temos que verificar se a série converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas e vamos precisar usar alguns testes de convergência, como o Teste da Série Alternada ou o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de . Então, o termo geral da série é .

Passo 3

Para determinar a convergência, vamos usar o Teste da Série Absoluta. Se a série dos valores absolutos converge, então a série original também converge.

Passo 4

Calculando o valor absoluto, temos , já que .

Passo 5

Agora, analisamos a série . Essa é uma série geométrica com razão .

Passo 6

Sabemos que uma série geométrica converge se . Neste caso, que satisfaz .

Passo 7

Portanto, a série geométrica converge.

Passo 8

Como a série dos valores absolutos converge, pelo Teste da Série Absoluta, a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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