Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
Passo 1
Beleza, temos que verificar se a série converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas e vamos precisar usar alguns testes de convergência, como o Teste da Série Alternada ou o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de . Então, o termo geral da série é .
Passo 3
Para determinar a convergência, vamos usar o Teste da Série Absoluta. Se a série dos valores absolutos converge, então a série original também converge.
Passo 4
Calculando o valor absoluto, temos , já que .
Passo 5
Agora, analisamos a série . Essa é uma série geométrica com razão .
Passo 6
Sabemos que uma série geométrica converge se . Neste caso, que satisfaz .
Passo 7
Portanto, a série geométrica converge.
Passo 8
Como a série dos valores absolutos converge, pelo Teste da Série Absoluta, a série original também converge.