Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usarmos o Teste de Comparação por Limites para analisar se a série
converge. Aqui, estamos lidando com séries infinitas e testes de convergência, especificamente o Teste de Comparação por Limites. Para resolver, vamos precisar comparar nossa série com outra que a gente já saiba se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste de Comparação por Limites. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série comparando os termos dela com os de outra série conhecida. A ideia é calcular o limite:
onde
é o termo da série que queremos testar e
é o termo da série com a qual vamos comparar. As regras são:
- Se
e a série converge, então também converge. - Se
e diverge, então também diverge.
Passo 3
Vamos identificar
e escolher uma boa
para comparar. No nosso caso:
Queremos encontrar uma série
que seja mais simples e que a gente saiba se converge ou não. Observando
, percebemos que
cresce muito rápido, muito mais rápido que qualquer função polinomial ou logarítmica. Então, uma boa escolha para
seria:
Sabemos que a série
é conhecida e ela converge (na verdade, ela converge para
).
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite
:
Simplificando, vemos que o fator
se cancela, restando
.
Passo 5
Vamos calcular o limite:
Sabemos que
tende ao infinito quando
tende ao infinito. Portanto:
Passo 6
Aplicando o Teste de Comparação por Limites:
- Temos que
. - A série
converge.
No entanto, segundo o teste, se
e
converge, isso não nos dá uma conclusão direta. Na verdade, o teste é mais útil quando
é finito e positivo. Mas aqui, como
, precisamos interpretar de outra forma.
Na verdade, nesse caso, podemos entender que
está muito menor que
, já que
cresce muito lentamente comparado a
. Então, mesmo com
, concluímos que a série
converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste de Comparação por Limites.