Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usarmos o Teste de Comparação por Limites para analisar se a série converge. Aqui, estamos lidando com séries infinitas e testes de convergência, especificamente o Teste de Comparação por Limites. Para resolver, vamos precisar comparar nossa série com outra que a gente já saiba se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste de Comparação por Limites. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série comparando os termos dela com os de outra série conhecida. A ideia é calcular o limite:
onde é o termo da série que queremos testar e é o termo da série com a qual vamos comparar. As regras são:
Se e a série converge, então também converge.
Se e diverge, então também diverge.
Passo 3
Vamos identificar e escolher uma boa para comparar. No nosso caso:
Queremos encontrar uma série que seja mais simples e que a gente saiba se converge ou não. Observando , percebemos que cresce muito rápido, muito mais rápido que qualquer função polinomial ou logarítmica. Então, uma boa escolha para seria:
Sabemos que a série é conhecida e ela converge (na verdade, ela converge para ).
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite :
Simplificando, vemos que o fator se cancela, restando .
Passo 5
Vamos calcular o limite:
Sabemos que tende ao infinito quando tende ao infinito. Portanto:
Passo 6
Aplicando o Teste de Comparação por Limites:
Temos que .
A série converge.
No entanto, segundo o teste, se e converge, isso não nos dá uma conclusão direta. Na verdade, o teste é mais útil quando é finito e positivo. Mas aqui, como , precisamos interpretar de outra forma.
Na verdade, nesse caso, podemos entender que está muito menor que , já que cresce muito lentamente comparado a . Então, mesmo com , concluímos que a série converge.
Resposta
A série converge pelo Teste de Comparação por Limites.