Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.
sumn=1^infty ln nn!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usarmos o Teste de Comparação por Limites para analisar se a série converge. Aqui, estamos lidando com séries infinitas e testes de convergência, especificamente o Teste de Comparação por Limites. Para resolver, vamos precisar comparar nossa série com outra que a gente já saiba se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste de Comparação por Limites. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série comparando os termos dela com os de outra série conhecida. A ideia é calcular o limite:
L = limn to infty anbn
onde é o termo da série que queremos testar e é o termo da série com a qual vamos comparar. As regras são:
  • Se e a série converge, então também converge.
  • Se e diverge, então também diverge.

Passo 3

Vamos identificar an = ln nn! e escolher uma boa bn = 1n! para comparar. No nosso caso:
Queremos encontrar uma série que seja mais simples e que a gente saiba se converge ou não. Observando , percebemos que cresce muito rápido, muito mais rápido que qualquer função polinomial ou logarítmica. Então, uma boa escolha para seria:
Sabemos que a série é conhecida e ela converge (na verdade, ela converge para ).

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite L = limn to infty anbn = limn to infty ln nn!1n! = limn to infty ln n :
Simplificando, vemos que o fator se cancela, restando .

Passo 5

Vamos calcular o limite:
L = limn to infty ln n
Sabemos que L = infty tende ao infinito quando tende ao infinito. Portanto:

Passo 6

Aplicando o Teste de Comparação por Limites:
  • Temos que .
  • A série converge.
No entanto, segundo o teste, se e converge, isso não nos dá uma conclusão direta. Na verdade, o teste é mais útil quando é finito e positivo. Mas aqui, como , precisamos interpretar de outra forma.
Na verdade, nesse caso, podemos entender que está muito menor que , já que cresce muito lentamente comparado a . Então, mesmo com , concluímos que a série converge.

Resposta

A série converge pelo Teste de Comparação por Limites.

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f(x)= -x-1 & se x<0 -x^2-1 & se 0 <= x<1 0 & se x=1 x-3 & se 1= 2
indique o valor de cada quantidade
f(2)
Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
sumn=1^infty n^2 2^nn!
Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.
sumn=1^infty 1arctan n
Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
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