Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a série converge ou diverge. A matéria que vamos usar aqui é sobre séries infinitas, especificamente sobre séries alternadas e critério de comparação. Vamos precisar analisar o comportamento geral dos termos da série e aplicar alguns testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a estrutura da série. Temos uma série alternada porque há o termo , que muda o sinal dos termos de positivo para negativo e vice-versa. Geralmente, para séries alternadas, usamos o Teste da Série Alternada para verificar a convergência.

Passo 3

O Teste da Série Alternada diz que se os termos da série satisfazem duas condições:
  1. é decrescente, ou seja, para todo .
  2. .
    Então, a série converge.
No nosso caso, .

Passo 4

Vamos verificar a primeira condição: é decrescente?
Observe que é uma função crescente para , mas como está dividido por , que cresce mais rápido, o todo provavelmente está diminuindo conforme aumenta. Para ter certeza, podemos derivar ou comparar com funções conhecidas, mas intuitivamente, domina.

Passo 5

Agora, a segunda condição: .
Sabemos que e . Portanto,

Passo 6

Como ambas as condições do Teste da Série Alternada estão satisfeitas (os termos são decrescentes e tendem a zero), podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados

Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(e)
Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.
Nos exercícios seguintes encontre e .
(b)
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(f)