Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. A matéria que vamos usar aqui é sobre séries infinitas, especificamente sobre séries alternadas e critério de comparação. Vamos precisar analisar o comportamento geral dos termos da série e aplicar alguns testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a estrutura da série. Temos uma série alternada porque há o termo
, que muda o sinal dos termos de positivo para negativo e vice-versa. Geralmente, para séries alternadas, usamos o Teste da Série Alternada para verificar a convergência.
Passo 3
O Teste da Série Alternada diz que se os termos
da série
satisfazem duas condições:
-
é decrescente, ou seja, para todo . -
.
Então, a série converge.
No nosso caso,
.
Passo 4
Vamos verificar a primeira condição:
é decrescente?
Observe que
é uma função crescente para
, mas como está dividido por
, que cresce mais rápido, o todo
provavelmente está diminuindo conforme
aumenta. Para ter certeza, podemos derivar ou comparar com funções conhecidas, mas intuitivamente,
domina.
Passo 5
Agora, a segunda condição:
.
Sabemos que
e
. Portanto,
Passo 6
Como ambas as condições do Teste da Série Alternada estão satisfeitas (os termos são decrescentes e tendem a zero), podemos concluir que a série
converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(e)
(e)
Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.
Nos exercícios seguintes encontre
e
.
(b)
(b)
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(f)
(f)