Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma série infinita
e precisa usar o Teste de Comparação por Limites para descobrir se essa série converge ou diverge. Então, vamos precisar entender como funciona esse teste e escolher uma série comparativa adequada para fazer a análise.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste de Comparação por Limites. Esse teste nos ajuda a comparar uma série que queremos analisar com outra série que já sabemos se é convergente ou divergente. A ideia é calcular o limite do quociente entre os termos das duas séries quando
tende ao infinito.
A fórmula do teste é:
Onde:
-
é o termo da série que estamos analisando. -
é o termo da série comparativa. -
é o limite desse quociente.
Se
e a série
converge, então a série
também converge. Se
diverge, então
também diverge.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa série
.
Primeiro, precisamos escolher uma série comparativa
que seja fácil de analisar. Observando o termo
, percebemos que, para grandes valores de
,
se aproxima de
. Então, podemos simplificar dizendo que
se comporta como um constante.
Vamos escolher a série harmônica
como nossa comparação, já que sabemos que ela diverge.
Passo 4
Agora, calculamos o limite do quociente entre os termos das duas séries:
Sabemos que
quando
é muito grande, então podemos aproximar:
Passo 5
Como o limite
é infinito e a série comparativa
diverge, o Teste de Comparação por Limites nos diz que a série original
também diverge.
Resposta
A série
diverge.