Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.
sumn=1^infty 1arctan n

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma série infinita e precisa usar o Teste de Comparação por Limites para descobrir se essa série converge ou diverge. Então, vamos precisar entender como funciona esse teste e escolher uma série comparativa adequada para fazer a análise.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste de Comparação por Limites. Esse teste nos ajuda a comparar uma série que queremos analisar com outra série que já sabemos se é convergente ou divergente. A ideia é calcular o limite do quociente entre os termos das duas séries quando limn to infty anbn = L tende ao infinito.
A fórmula do teste é:
Onde:
  • é o termo da série que estamos analisando.
  • é o termo da série comparativa.
  • é o limite desse quociente.
Se e a série converge, então a série também converge. Se diverge, então também diverge.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa série .
Primeiro, precisamos escolher uma série comparativa que seja fácil de analisar. Observando o termo , percebemos que, para grandes valores de , se aproxima de . Então, podemos simplificar dizendo que se comporta como um constante.
Vamos escolher a série harmônica como nossa comparação, já que sabemos que ela diverge.

Passo 4

Agora, calculamos o limite do quociente entre os termos das duas séries:
L = limn to infty 1arctan n1n = limn to infty narctan n
Sabemos que L approx limn to infty npi2 = limn to infty 2npi = infty quando é muito grande, então podemos aproximar:

Passo 5

Como o limite é infinito e a série comparativa diverge, o Teste de Comparação por Limites nos diz que a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.
sumn=1^infty ln nn!
Para a função f definida por
f(x)= -x-1 & se x<0 -x^2-1 & se 0 <= x<1 0 & se x=1 x-3 & se 1= 2
indique o valor de cada quantidade
f(2)
Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
§ x y' = y + x e^(2 y / x)
Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
sumn=1^infty (-1)^n-1 nn^2+1