Utilize o Método da Separação de Variáveis (MSV) para resolver as seguintes EDPs:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que foi pedido. Temos uma equação diferencial parcial (EDP):
E precisamos resolvê-la usando o Método da Separação de Variáveis (MSV). Isso significa que vamos tentar separar as variáveis e para encontrar uma solução para .
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. Dividindo ambos os lados por , temos:
Passo 3
Agora, assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de uma função de apenas e uma função de apenas:
Onde é uma função somente de e somente de .
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de :
Passo 5
Substituindo essas derivadas na equação original:
Passo 6
Agora, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis:
Observe que o lado esquerdo depende somente de e o lado direito somente de . Como eles são iguais, ambos devem ser iguais a uma constante, que vamos chamar de .
Passo 7
Então, temos duas equações:
Para :
E para :
Passo 8
Vamos resolver cada equação separadamente. Começando pela equação em :
Isso pode ser reescrito como:
Essa é uma equação diferencial ordinária que pode ser resolvida usando separação de variáveis.
Passo 9
Integrando ambos os lados, temos:
Onde é a constante de integração.
Passo 10
Exponenciando ambos os lados para resolver para :
Onde é uma nova constante.
Passo 11
Agora, resolvemos a equação em :
Rearranjando:
Novamente, uma equação diferencial ordinária que podemos resolver por separação de variáveis.
Passo 12
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.
Passo 13
Exponenciando para resolver para :
Onde é outra constante.
Passo 14
Finalmente, combinamos e para obter a solução geral da EDP: