Utilize o Método da Separação de Variáveis (MSV) para resolver as seguintes EDPs:
x partial upartial x=y partial upartial y

Passo 1

Vamos começar entendendo o que foi pedido. Temos uma equação diferencial parcial (EDP):
x partial upartial x = y partial upartial y
E precisamos resolvê-la usando o Método da Separação de Variáveis (MSV). Isso significa que vamos tentar separar as variáveis e para encontrar uma solução para .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. Dividindo ambos os lados por 1y partial upartial x = 1x partial upartial y , temos:

Passo 3

Agora, assumimos que a solução u(x, y) = X(x) Y(y) pode ser escrita como o produto de uma função de apenas e uma função de apenas:
Onde é uma função somente de e somente de .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de partial upartial x = Y(y) dXdx :
partial upartial y = X(x) dYdy

Passo 5

Substituindo essas derivadas na equação original:
x cdot Y(y) dXdx = y cdot X(x) dYdy

Passo 6

Agora, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis:
xX(x) dXdx = yY(y) dYdy
Observe que o lado esquerdo depende somente de e o lado direito somente de . Como eles são iguais, ambos devem ser iguais a uma constante, que vamos chamar de .

Passo 7

Então, temos duas equações:
Para xX dXdx = lambda :
yY dYdy = lambda
E para :

Passo 8

Vamos resolver cada equação separadamente. Começando pela equação em xX dXdx = lambda :
dXdx = lambdax X
Isso pode ser reescrito como:
Essa é uma equação diferencial ordinária que pode ser resolvida usando separação de variáveis.

Passo 9

Integrando ambos os lados, temos:
integral 1X dX = lambda integral 1x dx
ln |X| = lambda ln |x| + C
Onde é a constante de integração.

Passo 10

Exponenciando ambos os lados para resolver para X = K x^lambda :
Onde é uma nova constante.

Passo 11

Agora, resolvemos a equação em yY dYdy = lambda :
dYdy = lambday Y
Rearranjando:
Novamente, uma equação diferencial ordinária que podemos resolver por separação de variáveis.

Passo 12

Integrando ambos os lados:
integral 1Y dY = lambda integral 1y dy
ln |Y| = lambda ln |y| + C'
Onde é a constante de integração.

Passo 13

Exponenciando para resolver para Y = M y^lambda :
Onde é outra constante.

Passo 14

Finalmente, combinamos u(x, y) = X(x) Y(y) = K x^lambda cdot M y^lambda = C x^lambda y^lambda e para obter a solução geral da EDP:
Onde é uma constante geral.

Resposta

A solução geral da equação diferencial parcial é:
u(x, y) = C cdot x^lambda y^lambda
Onde e são constantes.

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