Utilize o Método da Separação de Variáveis (MSV) para resolver as seguintes EDPs:

Passo 1

Vamos começar entendendo o que foi pedido. Temos uma equação diferencial parcial (EDP):
E precisamos resolvê-la usando o Método da Separação de Variáveis (MSV). Isso significa que vamos tentar separar as variáveis e para encontrar uma solução para .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. Dividindo ambos os lados por , temos:

Passo 3

Agora, assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de uma função de apenas e uma função de apenas:
Onde é uma função somente de e somente de .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de :

Passo 5

Substituindo essas derivadas na equação original:

Passo 6

Agora, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis:
Observe que o lado esquerdo depende somente de e o lado direito somente de . Como eles são iguais, ambos devem ser iguais a uma constante, que vamos chamar de .

Passo 7

Então, temos duas equações:
Para :
E para :

Passo 8

Vamos resolver cada equação separadamente. Começando pela equação em :
Isso pode ser reescrito como:
Essa é uma equação diferencial ordinária que pode ser resolvida usando separação de variáveis.

Passo 9

Integrando ambos os lados, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 10

Exponenciando ambos os lados para resolver para :
Onde é uma nova constante.

Passo 11

Agora, resolvemos a equação em :
Rearranjando:
Novamente, uma equação diferencial ordinária que podemos resolver por separação de variáveis.

Passo 12

Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 13

Exponenciando para resolver para :
Onde é outra constante.

Passo 14

Finalmente, combinamos e para obter a solução geral da EDP:
Onde é uma constante geral.

Resposta

A solução geral da equação diferencial parcial é:
Onde e são constantes.

Exercícios relacionados

Resolva o seguinte PVC, e depois calcule a temperatura para a posição e (use pelo menos 3 termos não nulos da solução em série para calcular ):
, sujeito a
Represente um pulso unitário começando em com duração de 5 segundos como uma soma de funções de Heaviside.[^0]
Utilize o Método da Separação de Variáveis (MSV) para resolver as seguintes EDPs:
Determine se as séries abaixo convergem ou não convergem. Use o critério apropriado .