Utilize o Método da Separação de Variáveis (MSV) para resolver as seguintes EDPs:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente resolver uma Equação Diferencial Parcial (EDP) usando o Método da Separação de Variáveis. A equação que temos é:
Então, vamos precisar entender como separar as variáveis e nessa equação para encontrar uma solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação pra facilitar a separação. Podemos escrever:
Isso nos ajuda a ver claramente a dependência de em relação a e .
Passo 3
Agora, assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de e outra que depende só de . Ou seja:
Essa é a essência do Método da Separação de Variáveis.
Passo 4
Vamos substituir na equação reorganizada:
Dividindo ambos os lados por , temos:
Passo 5
O objetivo agora é separar as variáveis. O lado esquerdo da equação depende só de e o lado direito só de . Isso só é possível se ambos forem iguais a uma constante, que chamaremos de . Então, temos duas equações:
Para :
Para :
Passo 6
Vamos resolver a equação para :
Essa é uma equação diferencial comum cuja solução é:
onde é uma constante.
Passo 7
Agora, resolvemos a equação para :
Podemos reescrever isso como:
Ou seja:
Passo 8
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com solução geral dependendo do sinal de . Vamos chamar . Assim, temos:
Se :
Se :
Se :
onde e são constantes.
Passo 9
Combinando as soluções de e , a solução geral da EDP é:
Dependendo dos valores de e , podemos ajustar a forma da solução.
Resposta
A solução geral da EDP usando o Método da Separação de Variáveis é:
onde e são constantes, e e estão relacionados por .