Utilize o Método da Separação de Variáveis (MSV) para resolver as seguintes EDPs:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente resolver uma Equação Diferencial Parcial (EDP) usando o Método da Separação de Variáveis. A equação que temos é:
Então, vamos precisar entender como separar as variáveis
e
nessa equação para encontrar uma solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação pra facilitar a separação. Podemos escrever:
Isso nos ajuda a ver claramente a dependência de
em relação a
e
.
Passo 3
Agora, assumimos que a solução
pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de
e outra que depende só de
. Ou seja:
Essa é a essência do Método da Separação de Variáveis.
Passo 4
Vamos substituir
na equação reorganizada:
Dividindo ambos os lados por
, temos:
Passo 5
O objetivo agora é separar as variáveis. O lado esquerdo da equação depende só de
e o lado direito só de
. Isso só é possível se ambos forem iguais a uma constante, que chamaremos de
. Então, temos duas equações:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Vamos resolver a equação para
:
Essa é uma equação diferencial comum cuja solução é:
onde
é uma constante.
Passo 7
Agora, resolvemos a equação para
:
Podemos reescrever isso como:
Ou seja:
Passo 8
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com solução geral dependendo do sinal de
. Vamos chamar
. Assim, temos:
-
Se
: -
Se
: -
Se
:
onde
e
são constantes.
Passo 9
Combinando as soluções de
e
, a solução geral da EDP é:
Dependendo dos valores de
e
, podemos ajustar a forma da solução.
Resposta
A solução geral da EDP usando o Método da Separação de Variáveis é:
onde
e
são constantes, e
e
estão relacionados por
.