Utilize o Método da Separação de Variáveis (MSV) para resolver as seguintes EDPs:
k partial^2 upartial x^2-u=partial upartial t , k>0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente resolver uma Equação Diferencial Parcial (EDP) usando o Método da Separação de Variáveis. A equação que temos é:
k partial^2 upartial x^2 - u = partial upartial t , k > 0
Então, vamos precisar entender como separar as variáveis e nessa equação para encontrar uma solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação pra facilitar a separação. Podemos escrever:
partial upartial t = k partial^2 upartial x^2 - u
Isso nos ajuda a ver claramente a dependência de em relação a e .

Passo 3

Agora, assumimos que a solução u(x, t) = X(x) T(t) pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de e outra que depende só de . Ou seja:
Essa é a essência do Método da Separação de Variáveis.

Passo 4

Vamos substituir d(T)dt X = k T d^2(X)dx^2 - T X na equação reorganizada:
1T dTdt = k 1X d^2Xdx^2 - 1
Dividindo ambos os lados por , temos:

Passo 5

O objetivo agora é separar as variáveis. O lado esquerdo da equação depende só de 1T dTdt = lambda e o lado direito só de k d^2Xdx^2 - X = lambda X . Isso só é possível se ambos forem iguais a uma constante, que chamaremos de . Então, temos duas equações:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 6

Vamos resolver a equação para dTdt = lambda T :
T(t) = C e^lambda t
Essa é uma equação diferencial comum cuja solução é:
onde é uma constante.

Passo 7

Agora, resolvemos a equação para k d^2Xdx^2 - X = lambda X :
k d^2Xdx^2 = (lambda + 1) X
Podemos reescrever isso como:
d^2Xdx^2 = lambda + 1k X
Ou seja:

Passo 8

Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com solução geral dependendo do sinal de X(x) = A e^mu x + B e^-mu x . Vamos chamar X(x) = A x + B . Assim, temos:
  • Se X(x) = A cos(mu x) + B sin(mu x) :
  • Se :
  • Se :
onde e são constantes.

Passo 9

Combinando as soluções de u(x, t) = ( A e^mu x + B e^-mu x ) e^lambda t e , a solução geral da EDP é:
Dependendo dos valores de e , podemos ajustar a forma da solução.

Resposta

A solução geral da EDP usando o Método da Separação de Variáveis é:
u(x, t) = ( A e^mu x + B e^-mu x ) e^lambda t
onde e são constantes, e e estão relacionados por .

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