Determine se as séries abaixo convergem ou não convergem. Use o critério apropriado
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos pede para determinar se a série
converge ou não. Isso está dentro do conteúdo de séries infinitas e vamos precisar usar algum critérios de convergência para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a série que temos aqui:
. Essa é uma série que alterna os sinais dos termos por causa do
e tem termos que diminuem de acordo com
.
Passo 3
Sabemos que existem vários critérios para testar a convergência de séries. Como nossa série é alternada, um bom candidato é o Teste da Série Alternada. Esse teste afirma que uma série da forma
converge se:
- Os termos
são positivos. - Os termos
estão diminuindo: . - O limite dos termos é zero:
.
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Série Alternada na nossa série. Aqui,
.
- Positividade:
é positivo para todo . - Decrescimento: Conforme
aumenta, diminui porque estamos dividindo por potências de 2. - Limite:
.
Passo 5
Todos os requisitos do Teste da Série Alternada são satisfeitos. Portanto, pela teoria, a série
converge.
Resposta
A série
converge.
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