Determine se as séries abaixo convergem ou não convergem. Use o critério apropriado ^1.
sumk=0^infty(-1)^k 2^-k

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos pede para determinar se a série sumk=0^infty(-1)^k 2^-k converge ou não. Isso está dentro do conteúdo de séries infinitas e vamos precisar usar algum critérios de convergência para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série que temos aqui: sumk=0^infty(-1)^k 2^-k. Essa é uma série que alterna os sinais dos termos por causa do (-1)^k e tem termos que diminuem de acordo com 2^-k.

Passo 3

Sabemos que existem vários critérios para testar a convergência de séries. Como nossa série é alternada, um bom candidato é o Teste da Série Alternada. Esse teste afirma que uma série da forma sum (-1)^k ak converge se:
  1. Os termos ak são positivos.
  2. Os termos ak estão diminuindo: ak+1 <= ak.
  3. O limite dos termos é zero: limk to infty ak = 0.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Série Alternada na nossa série. Aqui, ak = 2^-k.
  1. Positividade: 2^-k é positivo para todo k.
  2. Decrescimento: Conforme k aumenta, 2^-k diminui porque estamos dividindo por potências de 2.
  3. Limite: limk to infty 2^-k = 0.

Passo 5

Todos os requisitos do Teste da Série Alternada são satisfeitos. Portanto, pela teoria, a série sumk=0^infty(-1)^k 2^-k converge.

Resposta

A série sumk=0^infty(-1)^k 2^-k converge.

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