Determine se as séries abaixo convergem ou não convergem. Use o critério apropriado .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos pede para determinar se a série converge ou não. Isso está dentro do conteúdo de séries infinitas e vamos precisar usar algum critérios de convergência para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série que temos aqui: . Essa é uma série que alterna os sinais dos termos por causa do e tem termos que diminuem de acordo com .

Passo 3

Sabemos que existem vários critérios para testar a convergência de séries. Como nossa série é alternada, um bom candidato é o Teste da Série Alternada. Esse teste afirma que uma série da forma converge se:
  1. Os termos são positivos.
  2. Os termos estão diminuindo: .
  3. O limite dos termos é zero: .

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Série Alternada na nossa série. Aqui, .
  1. Positividade: é positivo para todo .
  2. Decrescimento: Conforme aumenta, diminui porque estamos dividindo por potências de 2.
  3. Limite: .

Passo 5

Todos os requisitos do Teste da Série Alternada são satisfeitos. Portanto, pela teoria, a série converge.

Resposta

A série converge.

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