Determine se as séries abaixo convergem ou não convergem. Use o critério apropriado
.
Passo 1
Vamos analisar se a série
converge ou não. Para isso, vamos utilizar os critérios de convergência de séries, especificamente o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar a convergência das séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste consiste em calcular o limite da razão entre o termo geral da série e o termo seguinte. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos definir
.
Calculamos
.
Passo 4
Agora, calculamos a razão
:
Simplificando:
Passo 5
Vamos calcular o limite dessa razão quando
tende ao infinito:
Passo 6
Como
, temos que
, que é menor que 1.
Segundo o Teste da Razão, como o limite da razão é menor que 1, a série converge.
Resposta
A série
converge.
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