Determine se as séries abaixo convergem ou não convergem. Use o critério apropriado ^1.
sumk=0^infty (k+1) exp (-k)2 k+3

Passo 1

Vamos analisar se a série converge ou não. Para isso, vamos utilizar os critérios de convergência de séries, especificamente o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar a convergência das séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste consiste em calcular o limite da razão entre o termo geral da série e o termo seguinte. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos definir .
Calculamos .

Passo 4

Agora, calculamos a razão ak+1ak = (k+2) e^-(k+1)2k+5 times 2k+3(k+1) e^-k = (k+2)(k+1) times e^-1 times 2k+32k+5 :
ak+1ak = (k+2)(k+1) times 2k+32k+5 times 1e
Simplificando:

Passo 5

Vamos calcular o limite dessa razão quando limk to infty (k+2)(k+1) times 2k+32k+5 times 1e = limk to infty kk times 2k2k times 1e = 1 times 1 times 1e = 1e tende ao infinito:

Passo 6

Como , temos que , que é menor que 1.
Segundo o Teste da Razão, como o limite da razão é menor que 1, a série converge.

Resposta

A série converge.

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