Determine se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
© sumn=1 (-1)^n raizn1+2 raizn

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de convergência absoluta e convergência condicional de séries, além de aplicar alguns testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que a gente olha para a série dos valores absolutos, ou seja:
sumn=1^infty | (-1)^n raizn1+2 raizn | = sumn=1^infty raizn1+2 raizn
Agora, para determinar se essa série converge, vamos analisar o comportamento dos termos quando raizn2 raizn = 12 fica bem grande. Observando a expressão , percebemos que, para grande, o no denominador vira quase nada, então a fração se aproxima de:
Então, quando tende ao infinito, os termos da série se aproximam de . Isso significa que os termos não estão indo a zero, o que é uma condição necessária para a convergência de qualquer série. Se os termos não tendem a zero, a série diverge.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a série original é condicionalmente convergente. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz), que diz que uma série alternada converge se:
  1. Os termos em módulo são decrescentes.
  2. O limite dos termos em módulo tende a zero, ou seja, .
Já vimos no passo anterior que . Como o limite não é zero, a série não converge pelo Teste da Série Alternada.

Resposta

A série é divergente.

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