Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de convergência absoluta e convergência condicional de séries, além de aplicar alguns testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que a gente olha para a série dos valores absolutos, ou seja:
Agora, para determinar se essa série converge, vamos analisar o comportamento dos termos quando fica bem grande. Observando a expressão , percebemos que, para grande, o no denominador vira quase nada, então a fração se aproxima de:
Então, quando tende ao infinito, os termos da série se aproximam de . Isso significa que os termos não estão indo a zero, o que é uma condição necessária para a convergência de qualquer série. Se os termos não tendem a zero, a série diverge.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a série original é condicionalmente convergente. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz), que diz que uma série alternada converge se:
Os termos em módulo são decrescentes.
O limite dos termos em módulo tende a zero, ou seja, .
Já vimos no passo anterior que . Como o limite não é zero, a série não converge pelo Teste da Série Alternada.