Usando os dígitos de 1 a 6 , no máximo uma vez cada, encontre valores para
e
de modo que função exponencial de base
da forma
tenha derivada em
igual a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os valores de
e
usando os dígitos de 1 a 6, sem repetir nenhum, de modo que a função exponencial
tenha uma derivada igual a 2 quando
. Aqui vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas de funções exponenciais, e um pouquinho de álgebra para resolver a equação.
Passo 2
Vamos começar lembrando como calcular a derivada de uma função exponencial. Se temos
, onde
é uma função qualquer, então a derivada
é dada por:
No nosso caso,
. Então, a derivada será:
Passo 3
Sabemos que
. Substituindo
na expressão da derivada, temos:
Agora, nossa meta é encontrar valores de
e
que satisfaçam essa equação, usando os dígitos de 1 a 6 sem repetir.
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para facilitar a busca pelos valores de
e
:
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Agora, tiramos o logaritmo natural dos dois lados para resolver para
:
Passo 5
Como
e
devem ser dígitos de 1 a 6 e diferentes, vamos testar valores possíveis para
e ver qual deles satisfaz a equação.
Teste com
:
Então,
e
.
Passo 6
Vamos verificar se esses valores realmente funcionam na equação original:
A equação é satisfeita!
Resposta
Os valores são
e
.
Exercícios relacionados
Determine se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(b)
(b)
Suponha que
seja uma função duas vezes diferenciável que satisfaça
Encontre
e
.
Determine se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
©
©
Você está envolvido em um projeto de pesquisa que envolve trabalhar com uma espécie de animal de laboratório. Se
é o peso (em quilogramas) desse animal
semanas após o nascimento, então o crescimento de um animal saudável pode ser modelado pela equação diferencial:
Suponha que você seja responsável por um animal que pesa 5 kg uma semana após o nascimento. O que o modelo nos diz sobre a taxa de crescimento do animal quando ele tem uma semana de idade? Use a reta tangente no ponto
para fazer uma estimativa do peso do animal 8 dias após o nascimento.