Usando os dígitos de 1 a 6 , no máximo uma vez cada, encontre valores para e de modo que função exponencial de base da forma
tenha derivada em igual a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os valores de e usando os dígitos de 1 a 6, sem repetir nenhum, de modo que a função exponencial tenha uma derivada igual a 2 quando . Aqui vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas de funções exponenciais, e um pouquinho de álgebra para resolver a equação.

Passo 2

Vamos começar lembrando como calcular a derivada de uma função exponencial. Se temos , onde é uma função qualquer, então a derivada é dada por:
No nosso caso, . Então, a derivada será:

Passo 3

Sabemos que . Substituindo na expressão da derivada, temos:
Agora, nossa meta é encontrar valores de e que satisfaçam essa equação, usando os dígitos de 1 a 6 sem repetir.

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para facilitar a busca pelos valores de e :
Para isolar , dividimos ambos os lados por :
Agora, tiramos o logaritmo natural dos dois lados para resolver para :

Passo 5

Como e devem ser dígitos de 1 a 6 e diferentes, vamos testar valores possíveis para e ver qual deles satisfaz a equação.
Teste com :
Então, e .

Passo 6

Vamos verificar se esses valores realmente funcionam na equação original:
A equação é satisfeita!

Resposta

Os valores são e .

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Determine se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(b)
Suponha que seja uma função duas vezes diferenciável que satisfaça
Encontre e .
Determine se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
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Você está envolvido em um projeto de pesquisa que envolve trabalhar com uma espécie de animal de laboratório. Se é o peso (em quilogramas) desse animal semanas após o nascimento, então o crescimento de um animal saudável pode ser modelado pela equação diferencial:
Suponha que você seja responsável por um animal que pesa 5 kg uma semana após o nascimento. O que o modelo nos diz sobre a taxa de crescimento do animal quando ele tem uma semana de idade? Use a reta tangente no ponto para fazer uma estimativa do peso do animal 8 dias após o nascimento.