Determine se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(b) sumn=1^+ 1+cos n3^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, especificamente os testes de convergência como o Teste da Série Geométrica e o Teste da Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que a série dos valores absolutos dos termos também converge. Então, vamos considerar a série:
sumn=1^+infty | 1+cos n3^n |
Sabemos que |1 + cos n| <= 1 + 1 = 2 sempre está entre -1 e 1, então:
| 1+cos n3^n | <= 23^n
Então, podemos afirmar que:

Passo 3

Agora, vamos comparar essa série com uma série geométrica conhecida. A série geométrica geral é:
sumn=1^+infty ar^n
Ela converge se sumn=1^+infty 23^n . No nosso caso, temos e , que satisfaz . Então, a série:
converge.

Passo 4

Segundo o Teste da Comparação, se uma série maior que outra série convergente também converge, então a série original também converge. Como demonstramos que:
| 1+cos n3^n | <= 23^n
e a série converge, podemos concluir que a série dos valores absolutos também converge.

Passo 5

Como a série dos valores absolutos converge, isso significa que a série original é absolutamente convergente. Não precisamos nem verificar a convergência condicional, pois a convergência absoluta já garante que a série converge de qualquer forma.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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