Determine se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, especificamente os testes de convergência como o Teste da Série Geométrica e o Teste da Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que a série dos valores absolutos dos termos também converge. Então, vamos considerar a série:
Sabemos que sempre está entre -1 e 1, então:
Então, podemos afirmar que:

Passo 3

Agora, vamos comparar essa série com uma série geométrica conhecida. A série geométrica geral é:
Ela converge se . No nosso caso, temos e , que satisfaz . Então, a série:
converge.

Passo 4

Segundo o Teste da Comparação, se uma série maior que outra série convergente também converge, então a série original também converge. Como demonstramos que:
e a série converge, podemos concluir que a série dos valores absolutos também converge.

Passo 5

Como a série dos valores absolutos converge, isso significa que a série original é absolutamente convergente. Não precisamos nem verificar a convergência condicional, pois a convergência absoluta já garante que a série converge de qualquer forma.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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Suponha que seja uma função duas vezes diferenciável que satisfaça
Encontre e .
Encontre o raio e o intervalo de convergência da série
Usando os dígitos de 1 a 6 , no máximo uma vez cada, encontre valores para e de modo que função exponencial de base da forma
tenha derivada em igual a .
Determine se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
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