Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar se a série é convergente ou divergente. Esse problema está relacionado a séries infinitas e aos critérios de convergência que usamos para analisar elas. Vamos precisar entender sobre séries alternadas e alguns testes de convergência, como o Teste da Razão ou o Teste da Série Alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a série dada é uma série alternada, porque o termo alterna o sinal dependendo do valor de . Isso significa que os termos da série vão mudando de positivo para negativo e vice-versa.

Passo 3

Agora, para determinar a convergência de uma série alternada, podemos usar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. é decrescente: para todo .
  2. .

Passo 4

Vamos aplicar esse teste à nossa série. Primeiro, identificamos .
Para que seja decrescente, precisamos que diminua conforme aumenta.

Passo 5

Observamos que é uma função que diminui conforme aumenta, já que o logaritmo natural cresce. Porém, depende do valor de :
  • Se : tende a zero conforme aumenta.
  • Se : permanece constante em magnitude.
  • Se : cresce sem limite conforme aumenta.

Passo 6

Vamos analisar cada caso:
  1. Para :
    • tende a zero.
    • também tende a zero, mas mais lentamente.
    • Portanto, tende a zero.
    • Além disso, é decrescente.
    • Assim, pelo Teste da Série Alternada, a série converge.
  2. Para :
    • , então .
    • O limite de é zero, mas precisamos verificar se é decrescente.
    • é decrescente, porém não converge absolutamente.
    • Ainda assim, pelo Teste da Série Alternada, a série converge condicionalmente.
  3. Para :
    • cresce sem limite.
    • diminui, mas não o suficiente para compensar o crescimento de .
    • Portanto, não tende a zero, e a série diverge.

Resposta

A série converge se e diverge se . Utilizamos o Teste da Série Alternada para determinar isso.

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(Equações de Euler) Uma equação da forma
, onde e são constantes, é chamada de equação de Euler. Fazendo a introdução da variável , verifique que podemos transformar a equação acima na equação:
ou seja, numa equação com coeficientes constantes. Se e formarem um conjunto fundamental de soluções da equação (1), então e formarão um conjunto fundamental de soluções da equação original. Use essa estratégia para resolver as equações abaixo para :
Determine a solução do problema de valor inicial dado:
  • e .
  • e .
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(g)
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(d)