Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Esse problema está relacionado a séries infinitas e aos critérios de convergência que usamos para analisar elas. Vamos precisar entender sobre séries alternadas e alguns testes de convergência, como o Teste da Razão ou o Teste da Série Alternada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a série dada é uma série alternada, porque o termo
alterna o sinal dependendo do valor de
. Isso significa que os termos da série vão mudando de positivo para negativo e vice-versa.
Passo 3
Agora, para determinar a convergência de uma série alternada, podemos usar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma
converge se duas condições forem satisfeitas:
-
é decrescente: para todo . -
.
Passo 4
Vamos aplicar esse teste à nossa série. Primeiro, identificamos
.
Para que
seja decrescente, precisamos que
diminua conforme
aumenta.
Passo 5
Observamos que
é uma função que diminui conforme
aumenta, já que o logaritmo natural cresce. Porém,
depende do valor de
:
- Se
: tende a zero conforme aumenta. - Se
: permanece constante em magnitude. - Se
: cresce sem limite conforme aumenta.
Passo 6
Vamos analisar cada caso:
-
Para
: -
tende a zero. -
também tende a zero, mas mais lentamente. - Portanto,
tende a zero. - Além disso,
é decrescente. - Assim, pelo Teste da Série Alternada, a série converge.
-
-
Para
: -
, então . - O limite de
é zero, mas precisamos verificar se é decrescente. -
é decrescente, porém não converge absolutamente. - Ainda assim, pelo Teste da Série Alternada, a série converge condicionalmente.
-
-
Para
: -
cresce sem limite. -
diminui, mas não o suficiente para compensar o crescimento de . - Portanto,
não tende a zero, e a série diverge.
-
Resposta
A série
converge se
e diverge se
. Utilizamos o Teste da Série Alternada para determinar isso.
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(Equações de Euler) Uma equação da forma
, onde
e
são constantes, é chamada de equação de Euler. Fazendo a introdução da variável
, verifique que podemos transformar a equação acima na equação:
ou seja, numa equação com coeficientes constantes. Se
e
formarem um conjunto fundamental de soluções da equação (1), então
e
formarão um conjunto fundamental de soluções da equação original. Use essa estratégia para resolver as equações abaixo para
:
Determine a solução do problema de valor inicial dado:
-
e . -
e .
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(g)
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Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(d)
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