Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(g) sumn=1^infty (2 alpha)^nn!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a série sumn=1^infty (2 alpha)^nn! converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns critérios da matemática que nos ajudam a determinar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teste da Razão, que é bem útil quando a gente tem séries com fatoriais ou potências. Esse teste nos ajuda a ver se a série converge analisando o limite da razão entre termos consecutivos da série.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Vamos chamar o termo geral da série de an = (2 alpha)^nn!. Agora, calculamos a razão entre an+1 e an:
an+1an = (2 alpha)^n+1(n+1)!(2 alpha)^nn! = (2 alpha)^n+1 cdot n!(n+1)! cdot (2 alpha)^n = 2 alphan+1

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando n tende ao infinito:
limn to infty 2 alphan+1 = 0

Passo 5

De acordo com o Teste da Razão, se esse limite for menor que 1, a série converge. Como 0 é bem menor que 1, concluímos que a série converge.

Resposta

A série sumn=1^infty (2 alpha)^nn! é convergente pelo Teste da Razão.

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