Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns critérios da matemática que nos ajudam a determinar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teste da Razão, que é bem útil quando a gente tem séries com fatoriais ou potências. Esse teste nos ajuda a ver se a série converge analisando o limite da razão entre termos consecutivos da série.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Vamos chamar o termo geral da série de
. Agora, calculamos a razão entre
e
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando
tende ao infinito:
Passo 5
De acordo com o Teste da Razão, se esse limite for menor que 1, a série converge. Como 0 é bem menor que 1, concluímos que a série converge.
Resposta
A série
é convergente pelo Teste da Razão.
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(a)
(a)
(Equações de Euler) Uma equação da forma
, onde
e
são constantes, é chamada de equação de Euler. Fazendo a introdução da variável
, verifique que podemos transformar a equação acima na equação:
ou seja, numa equação com coeficientes constantes. Se
e
formarem um conjunto fundamental de soluções da equação (1), então
e
formarão um conjunto fundamental de soluções da equação original. Use essa estratégia para resolver as equações abaixo para
:
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(d)
(d)
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(f)
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