Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(g)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns critérios da matemática que nos ajudam a determinar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teste da Razão, que é bem útil quando a gente tem séries com fatoriais ou potências. Esse teste nos ajuda a ver se a série converge analisando o limite da razão entre termos consecutivos da série.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Vamos chamar o termo geral da série de . Agora, calculamos a razão entre e :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando tende ao infinito:

Passo 5

De acordo com o Teste da Razão, se esse limite for menor que 1, a série converge. Como 0 é bem menor que 1, concluímos que a série converge.

Resposta

A série é convergente pelo Teste da Razão.

Exercícios relacionados

Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(a)
(Equações de Euler) Uma equação da forma
, onde e são constantes, é chamada de equação de Euler. Fazendo a introdução da variável , verifique que podemos transformar a equação acima na equação:
ou seja, numa equação com coeficientes constantes. Se e formarem um conjunto fundamental de soluções da equação (1), então e formarão um conjunto fundamental de soluções da equação original. Use essa estratégia para resolver as equações abaixo para :
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(d)
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(f)