Determine a solução do problema de valor inicial dado:
-
e
.
-
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o primeiro problema juntos! Aqui está o que a gente tem:
- Equação Diferencial:
- Condições Iniciais:
e
Vamos usar o conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Precisaremos encontrar a solução geral dessa equação, que é a soma da solução da equação homogênea com uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Vamos encontrar as raízes da equação característica. Assumimos uma solução da forma
, substituindo na equação homogênea:
Resolvendo essa equação quadrática:
Portanto, as raízes são
e
.
Passo 3
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea:
Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau (
), vamos supor uma solução particular da forma:
Onde
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 5
Derivando
:
Substituindo na equação não homogênea:
Simplificando:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
- Coeficiente de
: ⇒ - Termo constante:
⇒ ⇒
Passo 6
Portanto, a solução particular é:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 8
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro,
:
Passo 9
Agora, derivamos
para aplicar
:
Aplicando
:
Passo 10
Resolvendo o sistema de equações (1) e (2):
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Então:
Passo 11
Agora, vamos resolver o segundo problema:
- Equação Diferencial:
- Condições Iniciais:
e
Vamos novamente usar o conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem e seguir o mesmo passo a passo: encontrar a solução homogênea, a solução particular e aplicar as condições iniciais.
Passo 12
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
Assumimos uma solução da forma
, substituindo na equação homogênea:
Resolvendo:
Temos uma raiz dupla
.
Passo 13
Como a raiz é dupla, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 14
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Vamos dividir em duas partes: encontrar a solução particular para
e para
, depois somar ambas.
Passo 15
Primeiro, para
, como
já está na solução homogênea, precisamos multiplicar por
novamente para evitar duplicação. Portanto, supomos:
Passo 16
Derivando
:
Passo 17
Substituindo
,
e
na equação não homogênea:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
-
: 0 = 0 (já atendido) -
: ⇒ - Constante:
⇒
Passo 18
Portanto, a solução particular para
é:
Passo 19
Agora, para a parte constante
, supomos uma solução particular constante:
Derivando:
Substituindo na equação:
Então,
.
Passo 20
A solução particular total é a soma de
e
:
Passo 21
A solução geral da equação diferencial é:
Podemos simplificar agrupando os termos com
:
Passo 22
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro,
:
Passo 23
Derivando
para aplicar
:
Aplicando
:
Resposta
A solução do segundo problema é:
Exercícios relacionados
Calcule as integrais indefinidas.
(Equações de Euler) Uma equação da forma
, onde
e
são constantes, é chamada de equação de Euler. Fazendo a introdução da variável
, verifique que podemos transformar a equação acima na equação:
ou seja, numa equação com coeficientes constantes. Se
e
formarem um conjunto fundamental de soluções da equação (1), então
e
formarão um conjunto fundamental de soluções da equação original. Use essa estratégia para resolver as equações abaixo para
:
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(a)
(a)