Determine a solução do problema de valor inicial dado:
  • y'' + y' - 2y = 2t, y(0) = 0 e y'(0) = 1.
  • y'' - 2y' + y = t e^t + 4, y(0) = 0 e y'(0) = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o primeiro problema juntos! Aqui está o que a gente tem:
  • Equação Diferencial:
  • Condições Iniciais: e
Vamos usar o conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Precisaremos encontrar a solução geral dessa equação, que é a soma da solução da equação homogênea com uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Vamos encontrar as raízes da equação característica. Assumimos uma solução da forma , substituindo na equação homogênea:
Resolvendo essa equação quadrática:
Portanto, as raízes são e .

Passo 3

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea:
Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau ( ), vamos supor uma solução particular da forma:
Onde e são constantes que vamos determinar.

Passo 5

Derivando :
Substituindo na equação não homogênea:
Simplificando:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
  • Coeficiente de :
  • Termo constante:

Passo 6

Portanto, a solução particular é:

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 8

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, :

Passo 9

Agora, derivamos para aplicar :
Aplicando :

Passo 10

Resolvendo o sistema de equações (1) e (2):
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Então:

Passo 11

Agora, vamos resolver o segundo problema:
  • Equação Diferencial:
  • Condições Iniciais: e
Vamos novamente usar o conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem e seguir o mesmo passo a passo: encontrar a solução homogênea, a solução particular e aplicar as condições iniciais.

Passo 12

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
Assumimos uma solução da forma , substituindo na equação homogênea:
Resolvendo:
Temos uma raiz dupla .

Passo 13

Como a raiz é dupla, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 14

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Vamos dividir em duas partes: encontrar a solução particular para e para , depois somar ambas.

Passo 15

Primeiro, para , como já está na solução homogênea, precisamos multiplicar por novamente para evitar duplicação. Portanto, supomos:

Passo 16

Derivando :

Passo 17

Substituindo , e na equação não homogênea:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
  • : 0 = 0 (já atendido)
  • :
  • Constante:

Passo 18

Portanto, a solução particular para é:

Passo 19

Agora, para a parte constante , supomos uma solução particular constante:
Derivando:
Substituindo na equação:
Então, .

Passo 20

A solução particular total é a soma de e :

Passo 21

A solução geral da equação diferencial é:
Podemos simplificar agrupando os termos com :

Passo 22

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, :

Passo 23

Derivando para aplicar :
Aplicando :

Resposta

A solução do segundo problema é:

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