(Equações de Euler) Uma equação da forma
, onde
e
são constantes, é chamada de equação de Euler. Fazendo a introdução da variável
, verifique que podemos transformar a equação acima na equação:
ou seja, numa equação com coeficientes constantes. Se
e
formarem um conjunto fundamental de soluções da equação (1), então
e
formarão um conjunto fundamental de soluções da equação original. Use essa estratégia para resolver as equações abaixo para
:
-
-
-
Passo 1
Fala aí! Vamos resolver umas equações de Euler juntos. Essas equações têm a forma geral:
Aqui,
e
são constantes. O objetivo é transformar essa equação usando a substituição
, o que vai simplificar pra uma equação de coeficientes constantes. Depois disso, a gente resolve essa nova equação e volta pra variável original
. Vamos fazer isso para a primeira equação:
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a mudança de variável
. Isso significa que
. Precisamos expressar as derivadas de
em relação a
em termos de
.
Vamos calcular
e
usando a regra da cadeia:
E para a segunda derivada:
Passo 3
Agora, substituímos
e
na equação original:
Simplificando:
Os termos
e
se cancelam, restando:
Passo 4
Agora, temos uma equação diferencial com coeficientes constantes:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. A solução geral é baseada nas raízes da equação característica. Vamos encontrar a equação característica:
Passo 5
As raízes são complexas:
e
. Portanto, a solução geral em termos de
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, lembrando que
, substituímos de volta para obter a solução em termos de
:
Passo 7
Vamos agora resolver a segunda equação de Euler:
Passo 8
Fazemos a mesma substituição
, então
. Calculamos as derivadas:
Passo 9
Substituímos na equação original:
Simplificando:
Agrupando termos:
Passo 10
Agora, resolvemos a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as raízes são:
Passo 11
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral em termos de
é:
Passo 12
Voltando para a variável
, com
:
Passo 13
Por fim, vamos resolver a terceira equação de Euler:
Passo 14
Usamos novamente
, então
. Calculamos as derivadas:
Passo 15
Substituímos na equação original:
Simplificando:
Agrupando termos:
Passo 16
Resolvemos a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Temos uma raiz dupla:
Passo 17
Com raiz dupla, a solução geral em termos de
é:
Passo 18
Voltando para
, com
:
Resposta
A solução geral da equação
para
é:
Exercícios relacionados
Determine a solução do problema de valor inicial dado:
-
e . -
e .
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(a)
(a)
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(g)
(g)