(Equações de Euler) Uma equação da forma
t^2 y'' + α t y' + β y = 0, t > 0
, onde alpha e beta são constantes, é chamada de equação de Euler. Fazendo a introdução da variável x = ln(t) <=> t = e^x, verifique que podemos transformar a equação acima na equação:
d^2y/dx + (alpha-1) dy/dx + beta y = 0
ou seja, numa equação com coeficientes constantes. Se y1(x) e y2(x) formarem um conjunto fundamental de soluções da equação (1), então y1(ln(t)) e y2(ln(t)) formarão um conjunto fundamental de soluções da equação original. Use essa estratégia para resolver as equações abaixo para t > 0 :
  • t^2 y'' + t y' + y = 0
  • t^2 y'' + 4 t y' + 2 y = 0
  • t^2 y'' - 3 t y' + 4 y = 0

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver umas equações de Euler juntos. Essas equações têm a forma geral:
Aqui, alpha e beta são constantes. O objetivo é transformar essa equação usando a substituição , o que vai simplificar pra uma equação de coeficientes constantes. Depois disso, a gente resolve essa nova equação e volta pra variável original t. Vamos fazer isso para a primeira equação:

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a mudança de variável . Isso significa que . Precisamos expressar as derivadas de y em relação a t em termos de x.
Vamos calcular e usando a regra da cadeia:
E para a segunda derivada:

Passo 3

Agora, substituímos e na equação original:
Simplificando:
Os termos e se cancelam, restando:

Passo 4

Agora, temos uma equação diferencial com coeficientes constantes:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. A solução geral é baseada nas raízes da equação característica. Vamos encontrar a equação característica:

Passo 5

As raízes são complexas: e . Portanto, a solução geral em termos de x é:
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, lembrando que , substituímos de volta para obter a solução em termos de t:

Passo 7

Vamos agora resolver a segunda equação de Euler:

Passo 8

Fazemos a mesma substituição , então . Calculamos as derivadas:

Passo 9

Substituímos na equação original:
Simplificando:
Agrupando termos:

Passo 10

Agora, resolvemos a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as raízes são:

Passo 11

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral em termos de x é:

Passo 12

Voltando para a variável t, com :

Passo 13

Por fim, vamos resolver a terceira equação de Euler:

Passo 14

Usamos novamente , então . Calculamos as derivadas:

Passo 15

Substituímos na equação original:
Simplificando:
Agrupando termos:

Passo 16

Resolvemos a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Temos uma raiz dupla:

Passo 17

Com raiz dupla, a solução geral em termos de x é:

Passo 18

Voltando para t, com :

Resposta

A solução geral da equação para é:

Exercícios relacionados