Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a série e precisa descobrir se ela converge ou diverge. Isso tá ligado ao estudo de séries infinitas na matemática, especificamente os testes de convergência. Para resolver, vamos precisar entender alguns testes básicos que nos ajudam a determinar o comportamento da série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série convergente ou divergente. Uma série converge se a soma dos seus termos chega a um número finito quando somamos infinitamente muitos termos. Caso contrário, ela diverge.
Passo 3
Agora, vamos escolher um teste de convergência adequado para essa série. Olhando para , vemos que temos uma combinação de uma parte que cresce linearmente no denominador () e uma parte que cresce exponencialmente (). Um bom teste para esse caso é o Teste da Razão (ou Teste da Limite da Razão).
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que, se a razão entre o termo e (quando tende ao infinito) for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não é conclusivo.
Matematicamente, calculamos:
No nosso caso, , então:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite:
Passo 6
De acordo com o Teste da Razão:
Se , ou seja, , a série converge.
Se , ou seja, , a série diverge.
Se , ou seja, , o teste não é conclusivo. Nesse caso, a série vira a série harmônica , que sabemos que diverge.
Resposta
A série converge se e somente se e diverge caso contrário.