Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
sumn=1^+infty(-1)^n n^25^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série é convergente ou divergente. A matéria que vai rolar aqui é sobre séries infinitas e testes de convergência, mais especificamente, vamos usar o Teste da Razão para analisar essa série. Vamos precisar entender como aplicar esse teste passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série sem o sinal alternado: . Queremos ver se a série converge. Se essa série convergir, a original com os sinais alternados também vai convergir (isso é a convergência absoluta).

Passo 3

Para verificar a convergência dessa série, vamos usar o Teste da Razão, que é super útil para séries com fatores exponenciais. A ideia é calcular o limite da razão entre termos consecutivos:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge absolutamente. Se , diverge, e se , o teste não é conclusivo.

Passo 4

Vamos aplicar o teste:
an = n^25^n an+1 = (n+1)^25^n+1 an+1an = (n+1)^25^n+1 times 5^nn^2 = (n+1)^25n^2

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite:
L = limn to infty (n+1)^25n^2 = limn to infty n^2 + 2n + 15n^2 = limn to infty ( 15 + 25n + 15n^2 ) = 15

Passo 6

Como , pelo Teste da Razão, a série converge absolutamente. Isso significa que a série original com os sinais alternados também converge.

Passo 7

Só para reforçar, a convergência absoluta é mais forte que a convergência condicional. Então, se uma série com os termos absolutos converge, a série original também converge, independente dos sinais.

Resposta

A série é convergente.

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