Quais são as maneiras de mostrar que uma série converge ou diverge?

Passo 1

O exercício está perguntando quais são as maneiras de mostrar que uma série converge ou diverge. Para resolver isso, vamos explorar os principais testes de convergência de séries e entender como aplicá-los passo a passo.

Passo 2

Primeiro, temos o Teste da Comparação. Esse teste funciona comparando a série que estamos analisando com outra série cuja convergência já conhecemos. Se os termos da nossa série forem menores ou iguais aos da série comparada e esta última converge, então a nossa série também converge. O contrário vale para a divergência.

Passo 3

Outro método é o Teste da Razão. Nesse teste, calculamos o limite do quociente entre o termo geral da série e o termo anterior . Se o limite for menor que 1, a série converge absolutamente. Se for maior que 1, a série diverge. Se for igual a 1, o teste não nos dá uma resposta definitiva.

Passo 4

Temos também o Teste da Raiz. Aqui, calculamos o limite . Se , a série converge absolutamente. Se , a série diverge. Se , o teste é inconclusivo.

Passo 5

O Teste da Integral é outra ferramenta útil. Esse teste aplica-se a séries de termos positivos e compara a série com uma integral. Se a integral correspondente converge, a série também converge; se a integral diverge, a série diverge.

Passo 6

Por fim, existe o Teste da Série Alternada. Esse teste é utilizado para séries cujos termos alternam sinais. Se os termos em valor absoluto estão diminuindo e tendem a zero, então a série converge.

Resposta

As principais maneiras de mostrar que uma série converge ou diverge são:
  1. Teste da Comparação
  2. Teste da Razão
  3. Teste da Raiz
  4. Teste da Integral
  5. Teste da Série Alternada

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