Quais são as maneiras de mostrar que uma série converge ou diverge?
Passo 1
O exercício está perguntando quais são as maneiras de mostrar que uma série converge ou diverge. Para resolver isso, vamos explorar os principais testes de convergência de séries e entender como aplicá-los passo a passo.
Passo 2
Primeiro, temos o Teste da Comparação. Esse teste funciona comparando a série que estamos analisando com outra série cuja convergência já conhecemos. Se os termos da nossa série forem menores ou iguais aos da série comparada e esta última converge, então a nossa série também converge. O contrário vale para a divergência.
Passo 3
Outro método é o Teste da Razão. Nesse teste, calculamos o limite do quociente entre o termo geral da série
e o termo anterior
. Se o limite
for menor que 1, a série converge absolutamente. Se for maior que 1, a série diverge. Se for igual a 1, o teste não nos dá uma resposta definitiva.
Passo 4
Temos também o Teste da Raiz. Aqui, calculamos o limite
. Se
, a série converge absolutamente. Se
, a série diverge. Se
, o teste é inconclusivo.
Passo 5
O Teste da Integral é outra ferramenta útil. Esse teste aplica-se a séries de termos positivos e compara a série com uma integral. Se a integral correspondente converge, a série também converge; se a integral diverge, a série diverge.
Passo 6
Por fim, existe o Teste da Série Alternada. Esse teste é utilizado para séries cujos termos alternam sinais. Se os termos em valor absoluto estão diminuindo e tendem a zero, então a série converge.
Resposta
As principais maneiras de mostrar que uma série converge ou diverge são:
- Teste da Comparação
- Teste da Razão
- Teste da Raiz
- Teste da Integral
- Teste da Série Alternada