Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
Passo 1
Beleza, galera! O que a gente precisa fazer aqui é descobrir se a série
converge ou diverge. Isso faz parte do estudo de séries infinitas, onde a gente soma um monte de termos que continuam pra sempre. Vamos precisar entender o que é uma série geométrica pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo dessa série. A série
é uma série geométrica porque cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante. No nosso caso, a razão é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar essa razão
. Olhando para a expressão geral da série geométrica, que é
, vemos que aqui
e
. Então, nossa razão é:
Passo 4
A próxima coisa que precisamos saber é se essa série converge ou diverge. Para séries geométricas, a regra é:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge.
Vamos calcular o valor absoluto de
:
Como
, isso significa que a condição para convergência é satisfeita.
Passo 5
Como
, podemos concluir que a série
converge.
Resposta
A série
é convergente.