Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
sumn=0^+infty e^-n / 2

Passo 1

Beleza, galera! O que a gente precisa fazer aqui é descobrir se a série sumn=0^+infty e^-n / 2 converge ou diverge. Isso faz parte do estudo de séries infinitas, onde a gente soma um monte de termos que continuam pra sempre. Vamos precisar entender o que é uma série geométrica pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo dessa série. A série sumn=0^+infty e^-n / 2 é uma série geométrica porque cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante. No nosso caso, a razão é e^-1/2.

Passo 3

Agora, vamos encontrar essa razão r. Olhando para a expressão geral da série geométrica, que é sumn=0^+infty ar^n, vemos que aqui a = e^0 = 1 e r = e^-1/2. Então, nossa razão é:
r = e^-1/2

Passo 4

A próxima coisa que precisamos saber é se essa série converge ou diverge. Para séries geométricas, a regra é:
  • Se |r| < 1, a série converge.
  • Se |r| >= 1, a série diverge.
Vamos calcular o valor absoluto de r:
|r| = |e^-1/2| = e^-1/2 approx 0.6065
Como 0.6065 < 1, isso significa que a condição para convergência é satisfeita.

Passo 5

Como |r| = e^-1/2 < 1, podemos concluir que a série sumn=0^+infty e^-n / 2 converge.

Resposta

A série sumn=0^+infty e^-n / 2 é convergente.

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