Dê o que se pede:
Exiba a forma geral do polinômio de Taylor, centrado em , de uma função . Exiba a série de Taylor de centrada em . Qual a importância do polinômio de Taylor?

Passo 1

Beleza, então temos um exercício sobre o polinômio de Taylor. A gente vai precisar entender o que é o polinômio de Taylor, como montar esse polinômio centrado em um ponto para uma função , além de saber qual é a série de Taylor dessa função e por que isso é importante na matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos ver a forma geral do polinômio de Taylor centrado em . O polinômio de Taylor de ordem para uma função é dado por:
Aqui, representa a k-ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a série de Taylor de centrada em . A série de Taylor é o limite do polinômio de Taylor à medida que o grau vai para o infinito. Ela é representada por:
Essa série tenta representar a função através de uma soma infinita de termos polinomiais.

Passo 4

Por fim, vamos discutir a importância do polinômio de Taylor. O polinômio de Taylor é fundamental porque permite aproximar funções complicadas por polinômios mais simples, que são mais fáceis de manipular e calcular. Isso é especialmente útil em cálculos numéricos, na resolução de equações diferenciais e em diversas áreas da engenharia e física onde soluções exatas são difíceis de obter.

Resposta

O polinômio de Taylor de uma função centrado em é dado por:
A série de Taylor de centrada em é:
O polinômio de Taylor é importante porque permite aproximar funções complexas por polinômios mais simples, facilitando cálculos e análises em diversas áreas da matemática e ciências aplicadas.

Exercícios relacionados

Dê o que se pede:
Qual é a série de Maclaurin de uma função ? Qual a relação dessa série com a série de potências da função?
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
Dê o que se pede:
Como saber quando a série de Taylor coincide com a função? Alguns exemplos foram provados em aula. Quais?
Dê o que se pede:
Quais séries sabemos que podem ser derivadas ou integradas termo-a-termo?