Dê o que se pede:
Qual é a série de Maclaurin de uma função
? Qual a relação dessa série com a série de potências da função?
Qual é a série de Maclaurin de uma função
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer saber qual é a série de Maclaurin de uma função
e como essa série se relaciona com a série de potências da função. Isso está dentro do conteúdo de séries de Taylor e séries de potências, que ajudam a representar funções de maneira mais simples usando polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a série de Maclaurin. A série de Maclaurin é um caso especial da série de Taylor, onde a expansão é feita em torno de
. A fórmula geral da série de Maclaurin para uma função
é:
Aqui,
representa a
-ésima derivada de
avaliada em 0, e
é o fatorial de
.
Passo 3
Agora, sobre a relação com a série de potências da função. A série de potências é uma representação de uma função como uma soma infinita de termos que são potências de
, geralmente na forma:
A série de Maclaurin é, na verdade, uma série de potências específica onde os coeficientes
são dados por
. Ou seja, toda série de Maclaurin é uma série de potências, mas com coeficientes determinados pelas derivadas da função no ponto 0.
Resposta
A série de Maclaurin de uma função
é dada por:
Essa série é um tipo específico de série de potências, onde os coeficientes são calculados pelas derivadas de
avaliadas em zero. Portanto, a série de Maclaurin é uma forma particular da série de potências da função
.
Exercícios relacionados
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
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Dê o que se pede:
Exiba a forma geral do polinômio de Taylor, centrado em , de uma função
. Exiba a série de Taylor de
centrada em
. Qual a importância do polinômio de Taylor?
Exiba a forma geral do polinômio de Taylor, centrado em
Dê o que se pede:
Como saber quando a série de Taylor coincide com a função? Alguns exemplos foram provados em aula. Quais?
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