Dê o que se pede:
Qual é a série de Maclaurin de uma função ? Qual a relação dessa série com a série de potências da função?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer saber qual é a série de Maclaurin de uma função e como essa série se relaciona com a série de potências da função. Isso está dentro do conteúdo de séries de Taylor e séries de potências, que ajudam a representar funções de maneira mais simples usando polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a série de Maclaurin. A série de Maclaurin é um caso especial da série de Taylor, onde a expansão é feita em torno de . A fórmula geral da série de Maclaurin para uma função é:
Aqui, representa a -ésima derivada de avaliada em 0, e é o fatorial de .

Passo 3

Agora, sobre a relação com a série de potências da função. A série de potências é uma representação de uma função como uma soma infinita de termos que são potências de , geralmente na forma:
A série de Maclaurin é, na verdade, uma série de potências específica onde os coeficientes são dados por . Ou seja, toda série de Maclaurin é uma série de potências, mas com coeficientes determinados pelas derivadas da função no ponto 0.

Resposta

A série de Maclaurin de uma função é dada por:
Essa série é um tipo específico de série de potências, onde os coeficientes são calculados pelas derivadas de avaliadas em zero. Portanto, a série de Maclaurin é uma forma particular da série de potências da função .

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Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
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Dê o que se pede:
Exiba a forma geral do polinômio de Taylor, centrado em , de uma função . Exiba a série de Taylor de centrada em . Qual a importância do polinômio de Taylor?
Dê o que se pede:
Como saber quando a série de Taylor coincide com a função? Alguns exemplos foram provados em aula. Quais?