Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar se a série converge ou diverge. Esse problema está relacionado ao estudo de séries infinitas em Cálculo, e vamos precisar usar testes de comparação para descobrir o comportamento dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série: . Quando fica muito grande, o no denominador se torna menos significativo, então podemos simplificar aproximando .

Passo 3

Agora, sabemos que a série é a chamada série harmônica, que é famosa por ser divergente. Ou seja, ela não soma a um valor finito.

Passo 4

Para comparar nossa série com a série harmônica, vamos usar o Teste de Comparação Limitada. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com outra série cujo comportamento já conhecemos.

Passo 5

Aplicando o Teste de Comparação Limitada, calculamos o limite do quociente entre os termos das duas séries:

Passo 6

Como o limite calculado é um número finito diferente de zero ( neste caso), o Teste de Comparação Limitada nos diz que a série original tem o mesmo comportamento que a série harmônica.

Passo 7

Já que a série harmônica diverge e a nossa série original se comporta de maneira similar para valores grandes de , concluímos que a série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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