Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar se a série
converge ou diverge. Esse problema está relacionado ao estudo de séries infinitas em Cálculo, e vamos precisar usar testes de comparação para descobrir o comportamento dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série:
. Quando
fica muito grande, o
no denominador se torna menos significativo, então podemos simplificar aproximando
.
Passo 3
Agora, sabemos que a série
é a chamada série harmônica, que é famosa por ser divergente. Ou seja, ela não soma a um valor finito.
Passo 4
Para comparar nossa série com a série harmônica, vamos usar o Teste de Comparação Limitada. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com outra série cujo comportamento já conhecemos.
Passo 5
Aplicando o Teste de Comparação Limitada, calculamos o limite do quociente entre os termos das duas séries:
Passo 6
Como o limite calculado é um número finito diferente de zero (
neste caso), o Teste de Comparação Limitada nos diz que a série original
tem o mesmo comportamento que a série harmônica.
Passo 7
Já que a série harmônica diverge e a nossa série original se comporta de maneira similar para valores grandes de
, concluímos que a série
também diverge.
Resposta
A série
diverge.
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e
.
Quais são as maneiras de mostrar que uma série converge ou diverge?
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