Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para a gente determinar se a série é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre testes de convergência de séries. Precisaremos aplicar um desses testes para verificar o comportamento da série.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada nos termos da série: . Aqui, temos um polinômio no numerador () e uma função exponencial no denominador (). Sabemos que, em geral, funções exponenciais crescem muito mais rápido que polinômios conforme aumenta.
Passo 3
Para confirmar isso matematicamente, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série , se o limite :
Se L < 1, a série converge.
Se L > 1, a série diverge.
Se L = 1, o teste é inconclusivo.
Passo 4
Aplicando o Teste da Razão, temos:
limn to infty | an+1an | = limn to infty (n+1)^3 + 1e^n+1 cdot e^nn^3 + 1
Simplificando:
= limn to infty (n+1)^3 + 1n^3 + 1 cdot 1e
Expandindo (n+1)^3:
= limn to infty n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + 1n^3 + 1 cdot 1e
= limn to infty n^3 + 3n^2 + 3n + 2n^3 + 1 cdot 1e
Dividindo todos os termos por n^3:
= limn to infty 1 + 3n + 3n^2 + 2n^31 + 1n^3 cdot 1e = 1 + 0 + 0 + 01 + 0 cdot 1e = 1e
Passo 5
Como e approx 2.718, temos 1e approx 0.368, que é menor que 1. Segundo o Teste da Razão, isso significa que a série converge.