Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
sumn=0^+infty n^3+1e^n

Passo 1

O enunciado pede para a gente determinar se a série sumn=0^+infty n^3+1e^n é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre testes de convergência de séries. Precisaremos aplicar um desses testes para verificar o comportamento da série.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nos termos da série: n^3 + 1e^n. Aqui, temos um polinômio no numerador ( n^3 + 1) e uma função exponencial no denominador ( e^n). Sabemos que, em geral, funções exponenciais crescem muito mais rápido que polinômios conforme n aumenta.

Passo 3

Para confirmar isso matematicamente, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série sum an, se o limite limn to infty | an+1an | = L:
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão, temos:
limn to infty | an+1an | = limn to infty (n+1)^3 + 1e^n+1 cdot e^nn^3 + 1
Simplificando:
= limn to infty (n+1)^3 + 1n^3 + 1 cdot 1e
Expandindo (n+1)^3:
= limn to infty n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + 1n^3 + 1 cdot 1e
= limn to infty n^3 + 3n^2 + 3n + 2n^3 + 1 cdot 1e
Dividindo todos os termos por n^3:
= limn to infty 1 + 3n + 3n^2 + 2n^31 + 1n^3 cdot 1e = 1 + 0 + 0 + 01 + 0 cdot 1e = 1e

Passo 5

Como e approx 2.718, temos 1e approx 0.368, que é menor que 1. Segundo o Teste da Razão, isso significa que a série converge.

Resposta

A série sumn=0^+infty n^3+1e^n é convergente.

Exercícios relacionados