Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para a gente determinar se a série é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre testes de convergência de séries. Precisaremos aplicar um desses testes para verificar o comportamento da série.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada nos termos da série: . Aqui, temos um polinômio no numerador () e uma função exponencial no denominador (). Sabemos que, em geral, funções exponenciais crescem muito mais rápido que polinômios conforme aumenta.
Passo 3
Para confirmar isso matematicamente, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série , se o limite :
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Aplicando o Teste da Razão, temos:
Simplificando:
Expandindo :
Dividindo todos os termos por :
Passo 5
Como , temos , que é menor que 1. Segundo o Teste da Razão, isso significa que a série converge.