Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.

Passo 1

O enunciado pede para a gente determinar se a série é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre testes de convergência de séries. Precisaremos aplicar um desses testes para verificar o comportamento da série.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nos termos da série: . Aqui, temos um polinômio no numerador ( ) e uma função exponencial no denominador ( ). Sabemos que, em geral, funções exponenciais crescem muito mais rápido que polinômios conforme aumenta.

Passo 3

Para confirmar isso matematicamente, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série , se o limite :
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão, temos:
Simplificando:
Expandindo :
Dividindo todos os termos por :

Passo 5

Como , temos , que é menor que 1. Segundo o Teste da Razão, isso significa que a série converge.

Resposta

A série é convergente.

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