Determine se as séries alternantes abaixo convergem ou divergem:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série alternante converge ou diverge. Aqui, estamos trabalhando com séries alternadas, que são somas onde os termos mudam de sinal a cada passo. Para resolver, vamos usar o Teste da Série Alternada (também conhecido como Teste de Leibniz).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série alternada. Uma série alternada tem termos que alternam sinais positivos e negativos, como no nosso caso com . O Teste da Série Alternada nos ajuda a verificar a convergência dessas séries.

Passo 3

O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos são positivos.
  2. Os termos diminuem continuamente e se aproximam de zero conforme aumenta.

Passo 4

No nosso exercício, os termos são . Vamos verificar as duas condições:
  1. Positividade: Como é positivo para e também é positivo, os termos são positivos.
  2. Decrecimento e limitação a zero:
    • Decrecimento: Vamos verificar se diminui conforme aumenta. Calculando a derivada de , temos:
      Para , , o que indica que a função está crescendo. Porém, observando valores específicos, percebemos que diminui à medida que aumenta além de certo ponto.
      - Limite a zero:
      Isso porque, enquanto cresce, ele cresce mais lentamente comparado a .

Passo 5

Como as duas condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas (os termos são positivos, diminuem e tendem a zero), podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série alternante converge.

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