Determine se as séries alternantes abaixo convergem ou divergem:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série alternante
converge ou diverge. Aqui, estamos trabalhando com séries alternadas, que são somas onde os termos mudam de sinal a cada passo. Para resolver, vamos usar o Teste da Série Alternada (também conhecido como Teste de Leibniz).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série alternada. Uma série alternada tem termos que alternam sinais positivos e negativos, como no nosso caso com
. O Teste da Série Alternada nos ajuda a verificar a convergência dessas séries.
Passo 3
O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos
são positivos. - Os termos
diminuem continuamente e se aproximam de zero conforme aumenta.
Passo 4
No nosso exercício, os termos
são
. Vamos verificar as duas condições:
- Positividade: Como
é positivo para e também é positivo, os termos são positivos. - Decrecimento e limitação a zero:
- Decrecimento: Vamos verificar se
diminui conforme aumenta. Calculando a derivada de , temos:
Para, , o que indica que a função está crescendo. Porém, observando valores específicos, percebemos que diminui à medida que aumenta além de certo ponto.
- Limite a zero:
Isso porque, enquanto cresce, ele cresce mais lentamente comparado a .
- Decrecimento: Vamos verificar se
Passo 5
Como as duas condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas (os termos são positivos, diminuem e tendem a zero), podemos concluir que a série
converge.
Resposta
A série alternante
converge.
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