Determine se as séries alternantes abaixo convergem ou divergem:
sumn=1^infty(-1)^n-1 ln nn

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série alternante sumn=1^infty(-1)^n-1 ln nn converge ou diverge. Aqui, estamos trabalhando com séries alternadas, que são somas onde os termos mudam de sinal a cada passo. Para resolver, vamos usar o Teste da Série Alternada (também conhecido como Teste de Leibniz).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série alternada. Uma série alternada tem termos que alternam sinais positivos e negativos, como no nosso caso com (-1)^n-1. O Teste da Série Alternada nos ajuda a verificar a convergência dessas séries.

Passo 3

O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma sumn=1^infty(-1)^nan converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos an são positivos.
  2. Os termos an diminuem continuamente e se aproximam de zero conforme n aumenta.

Passo 4

No nosso exercício, os termos an são ln nn. Vamos verificar as duas condições:
  1. Positividade: Como ln n é positivo para n > 1 e n também é positivo, os termos an são positivos.
  2. Decrecimento e limitação a zero:
    • Decrecimento: Vamos verificar se an diminui conforme n aumenta. Calculando a derivada de f(n) = ln nn, temos: f'(n) = 1 cdot n - ln n cdot 1n^2 = n - ln nn^2
      Para n > e, n - ln n > 0, o que indica que a função está crescendo. Porém, observando valores específicos, percebemos que ln nn diminui à medida que n aumenta além de certo ponto.
      - Limite a zero:
      limn to infty ln nn = 0Isso porque, enquanto ln n cresce, ele cresce mais lentamente comparado a n.

Passo 5

Como as duas condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas (os termos são positivos, diminuem e tendem a zero), podemos concluir que a série sumn=1^infty(-1)^n-1 ln nn converge.

Resposta

A série alternante sumn=1^infty(-1)^n-1 ln nn converge.

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