Use o teste da comparação e determine se as séries abaixo convergem ou divergem:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita do tipo e precisamos determinar se ela converge ou diverge usando o teste da comparação. Para isso, vamos comparar essa série com outra série conhecida cuja convergência ou divergência já sabemos.

Passo 2

Vamos analisar o termo geral da série: . Podemos simplificar essa expressão. Sabemos que . Então, o termo geral fica:

Passo 3

Observando a expressão acima, percebemos que para grande, os termos e se tornam muito pequenos, praticamente insignificantes em comparação com 1. Portanto, podemos simplificar ainda mais o termo geral para aproximadamente quando tende ao infinito.

Passo 4

Agora, vamos escolher uma série de comparação. Sabemos que a série geométrica é uma série geométrica com razão , o que significa que ela converge.

Passo 5

Vamos comparar os termos das duas séries:
Isso porque para todo , , então .

Passo 6

Já que é apenas 4 vezes a série geométrica que sabemos que converge, então também converge.

Passo 7

Pelo teste da comparação, se uma série maior converge, então a série menor também converge. Como nossa série original é menor ou igual a uma série que converge, podemos concluir que ela também converge.

Resposta

A série converge pelo teste da comparação.

Exercícios relacionados

Use o teste da comparação e determine se as séries abaixo convergem ou divergem:
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
(n) .
Determine se as séries alternantes abaixo convergem ou divergem:
Determine se as séries alternantes abaixo convergem ou divergem: