Use o teste da comparação e determine se as séries abaixo convergem ou divergem:
sumn=1^infty(1+1n)^2 e^-n

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita do tipo sumn=1^infty(1+1n)^2 e^-n e precisamos determinar se ela converge ou diverge usando o teste da comparação. Para isso, vamos comparar essa série com outra série conhecida cuja convergência ou divergência já sabemos.

Passo 2

Vamos analisar o termo geral da série: (1+1n)^2 e^-n. Podemos simplificar essa expressão. Sabemos que (1+1n)^2 = 1 + 2n + 1n^2. Então, o termo geral fica:
(1+1n)^2 e^-n = (1 + 2n + 1n^2) e^-n

Passo 3

Observando a expressão acima, percebemos que para n grande, os termos 2n e 1n^2 se tornam muito pequenos, praticamente insignificantes em comparação com 1. Portanto, podemos simplificar ainda mais o termo geral para aproximadamente e^-n quando n tende ao infinito.

Passo 4

Agora, vamos escolher uma série de comparação. Sabemos que a série geométrica sumn=1^infty e^-n é uma série geométrica com razão r = e^-1 < 1, o que significa que ela converge.

Passo 5

Vamos comparar os termos das duas séries:
(1+1n)^2 e^-n <= 4 e^-n
Isso porque para todo n >= 1, 1+1n <= 2, então (1+1n)^2 <= 4.

Passo 6

Já que sumn=1^infty 4 e^-n é apenas 4 vezes a série geométrica que sabemos que converge, então sumn=1^infty 4 e^-n também converge.

Passo 7

Pelo teste da comparação, se uma série maior converge, então a série menor também converge. Como nossa série original sumn=1^infty(1+1n)^2 e^-n é menor ou igual a uma série que converge, podemos concluir que ela também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty(1+1n)^2 e^-n converge pelo teste da comparação.

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