Use o teste da comparação e determine se as séries abaixo convergem ou divergem:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita do tipo
e precisamos determinar se ela converge ou diverge usando o teste da comparação. Para isso, vamos comparar essa série com outra série conhecida cuja convergência ou divergência já sabemos.
Passo 2
Vamos analisar o termo geral da série:
. Podemos simplificar essa expressão. Sabemos que
. Então, o termo geral fica:
Passo 3
Observando a expressão acima, percebemos que para
grande, os termos
e
se tornam muito pequenos, praticamente insignificantes em comparação com 1. Portanto, podemos simplificar ainda mais o termo geral para aproximadamente
quando
tende ao infinito.
Passo 4
Agora, vamos escolher uma série de comparação. Sabemos que a série geométrica
é uma série geométrica com razão
, o que significa que ela converge.
Passo 5
Vamos comparar os termos das duas séries:
Isso porque para todo
,
, então
.
Passo 6
Já que
é apenas 4 vezes a série geométrica que sabemos que converge, então
também converge.
Passo 7
Pelo teste da comparação, se uma série maior converge, então a série menor também converge. Como nossa série original
é menor ou igual a uma série que converge, podemos concluir que ela também converge.
Resposta
A série
converge pelo teste da comparação.
Exercícios relacionados
Use o teste da comparação e determine se as séries abaixo convergem ou divergem:
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
(n) .
(n)
Determine se as séries alternantes abaixo convergem ou divergem:
Determine se as séries alternantes abaixo convergem ou divergem: