Use o teste da comparação e determine se as séries abaixo convergem ou divergem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a série
. Nosso objetivo é usar o teste da comparação para descobrir se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos comparar com outra série que a gente já conhece o comportamento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da comparação. Esse teste serve para comparar os termos da série que estamos analisando com os termos de uma série comparativa que já sabemos se converge ou diverge. Se os termos da nossa série forem menores que os da série comparativa e a série comparativa converge, então a nossa série também converge. O mesmo vale para divergência.
Passo 3
A série que estamos analisando tem termos
. Sabemos que o fatorial,
, cresce muito rápido à medida que
aumenta. Em comparação, uma boa série para comparar seria a série p:
, que é uma série p com
.
Passo 4
Vamos comparar os termos:
e
. Para todo
, temos que
(porque
, que é maior que
para
, mas mesmo para valores menores, a desigualdade é válida). Isso implica que:
Passo 5
Sabemos que a série p
converge porque
. Pelo teste da comparação, já que os termos da nossa série
são menores ou iguais aos termos da série comparativa que converge, podemos concluir que a série
também converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
(n) .
(n)
Mostre que:
Sugestão: Encontre as somas parciais
e use o padrão estabelecido para escrever uma fórmula para a soma parcial dos
primeiros
. Tome o limite
em
.
Use o teste da comparação e determine se as séries abaixo convergem ou divergem:
Determine se as séries alternantes abaixo convergem ou divergem: