Use o teste da comparação e determine se as séries abaixo convergem ou divergem:
sumn=1^infty 1n!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a série sumn=1^infty 1n!. Nosso objetivo é usar o teste da comparação para descobrir se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos comparar com outra série que a gente já conhece o comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da comparação. Esse teste serve para comparar os termos da série que estamos analisando com os termos de uma série comparativa que já sabemos se converge ou diverge. Se os termos da nossa série forem menores que os da série comparativa e a série comparativa converge, então a nossa série também converge. O mesmo vale para divergência.

Passo 3

A série que estamos analisando tem termos 1n!. Sabemos que o fatorial, n!, cresce muito rápido à medida que n aumenta. Em comparação, uma boa série para comparar seria a série p: sumn=1^infty 1n^2, que é uma série p com p = 2.

Passo 4

Vamos comparar os termos: 1n! e 1n^2. Para todo n >= 1, temos que n! >= n^2 (porque n! = n times (n-1) times dots times 1, que é maior que n^2 para n >= 4, mas mesmo para valores menores, a desigualdade é válida). Isso implica que:
1n! <= 1n^2

Passo 5

Sabemos que a série p sumn=1^infty 1n^2 converge porque p = 2 > 1. Pelo teste da comparação, já que os termos da nossa série 1n! são menores ou iguais aos termos da série comparativa que converge, podemos concluir que a série sumn=1^infty 1n! também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 1n! converge.

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