(3,0 p) - Determine se as séries convergem:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série
converge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e comparar com uma série conhecida que já sabemos se converge ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Olha só o denominador:
. A gente pode fatorar esse polinômio para facilitar a análise.
Passo 3
Vamos fatorar
. Observando, temos um fator comum de
:
Agora, percebemos que
é um quadrado perfeito:
Então, o denominador fica:
Passo 4
Agora, a expressão da série fica:
Vamos simplificar isso dividindo cada termo do numerador pelo denominador:
Passo 5
Para determinar a convergência da série, vamos comparar com uma série p, que é da forma
. Sabemos que a série p converge se
.
Observando os termos que obtivemos:
Ambos os termos são da forma
com
e
, que são maiores que 1.
Passo 6
Como cada termo da nossa série original é menor ou igual a uma combinação de séries que convergem (
e
), podemos concluir, pelo teste da comparação, que a série original também converge.
Resposta
A série
converge.