(3,0 p) - Determine se as séries convergem:
c) sumk=1^infty 2 k+1k^4+2 k^3+k^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série converge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e comparar com uma série conhecida que já sabemos se converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Olha só o denominador: . A gente pode fatorar esse polinômio para facilitar a análise.

Passo 3

Vamos fatorar k^4 + 2k^3 + k^2 = k^2(k^2 + 2k + 1) . Observando, temos um fator comum de k^2 + 2k + 1 = (k + 1)^2 :
k^2(k + 1)^2
Agora, percebemos que é um quadrado perfeito:
Então, o denominador fica:

Passo 4

Agora, a expressão da série fica:
2k + 1k^2(k + 1)^2
Vamos simplificar isso dividindo cada termo do numerador pelo denominador:
2kk^2(k + 1)^2 + 1k^2(k + 1)^2 = 2k(k + 1)^2 + 1k^2(k + 1)^2

Passo 5

Para determinar a convergência da série, vamos comparar com uma série p, que é da forma 2k(k + 1)^2 approx 2k^3 e 1k^2(k + 1)^2 approx 1k^4 . Sabemos que a série p converge se .
Observando os termos que obtivemos:
Ambos os termos são da forma com e , que são maiores que 1.

Passo 6

Como cada termo da nossa série original é menor ou igual a uma combinação de séries que convergem ( e ), podemos concluir, pelo teste da comparação, que a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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