Nos exercícios a seguir, encontre o comprimento de arco da curva de até
(b) ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento de arco da curva dada pela função vetorial no intervalo de até . Para isso, vamos usar os conceitos de cálculo de comprimentos de curvas e derivadas de funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva parametrizada por . A fórmula é:
Aqui, é a derivada da função vetorial em relação a , e é o módulo dessa derivada, ou seja, o comprimento do vetor derivado.

Passo 3

Vamos encontrar a derivada . Dada a função , derivamos cada componente em relação a :
Calculando cada derivada:

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo desse vetor derivado :
Simplificando cada termo:
Sabemos que , então:

Passo 5

Com o módulo da derivada encontrado, podemos agora configurar a integral para o comprimento de arco:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar , então ou . Os limites da integral também mudam:
  • Quando , .
  • Quando , .
Substituindo na integral:
Agora, integramos :
Calculando os valores:
Substituindo de volta:

Resposta

O comprimento de arco da curva no intervalo de até é aproximadamente 7,05 unidades.

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(f)