Nos exercícios a seguir, encontre o comprimento de arco da curva de até
(b) ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento de arco da curva dada pela função vetorial no intervalo de até . Para isso, vamos usar os conceitos de cálculo de comprimentos de curvas e derivadas de funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva parametrizada por . A fórmula é:
Aqui, é a derivada da função vetorial em relação a , e é o módulo dessa derivada, ou seja, o comprimento do vetor derivado.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada . Dada a função , derivamos cada componente em relação a :
Calculando cada derivada:
Passo 4
Agora, vamos calcular o módulo desse vetor derivado :
Simplificando cada termo:
Sabemos que , então:
Passo 5
Com o módulo da derivada encontrado, podemos agora configurar a integral para o comprimento de arco:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar , então ou . Os limites da integral também mudam:
Quando , .
Quando , .
Substituindo na integral:
Agora, integramos :
Calculando os valores:
Substituindo de volta:
Resposta
O comprimento de arco da curva no intervalo de até é aproximadamente 7,05 unidades.