(3,0 p) - Determine se as séries convergem:
b) sumk=2^infty 1k ln k

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
sumk=2^infty 1k ln k
O objetivo é determinar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Integral, que nos ajuda a verificar a convergência de séries comparando-as com integrais.

Passo 2

O Teste da Integral funciona assim: se considerarmos uma função contínua, positiva e decrescente para (onde é um número natural), então a série converge se e somente se a integral converge.

Passo 3

Vamos aplicar esse teste à nossa série. Identificamos . Precisamos verificar se a função é contínua, positiva e decrescente para .
  • Contínua: Sim, é contínua para .
  • Positiva: Sim, pois para , tanto quanto são positivos.
  • Decrescente: Sim, à medida que aumenta, aumenta, fazendo com que diminua.

Passo 4

Agora, calculamos a integral correspondente:
integral2^infty 1x ln x , dx
Vamos resolver essa integral usando substituição.

Passo 5

Fazemos a substituição integralln 2^infty 1u , du . Então, . A integral vira:

Passo 6

Essa nova integral é:
integralln 2^infty 1u , du = limb to infty ln |u| g|ln 2^b = limb to infty (ln b - ln ln 2)
À medida que tende ao infinito, também tende ao infinito. Portanto, a integral diverge.

Passo 7

Como a integral diverge, pelo Teste da Integral, a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados