Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
O objetivo é determinar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Integral, que nos ajuda a verificar a convergência de séries comparando-as com integrais.
Passo 2
O Teste da Integral funciona assim: se considerarmos uma função contínua, positiva e decrescente para (onde é um número natural), então a série converge se e somente se a integral converge.
Passo 3
Vamos aplicar esse teste à nossa série. Identificamos . Precisamos verificar se a função é contínua, positiva e decrescente para .
Contínua: Sim, é contínua para .
Positiva: Sim, pois para , tanto quanto são positivos.
Decrescente: Sim, à medida que aumenta, aumenta, fazendo com que diminua.
Passo 4
Agora, calculamos a integral correspondente:
Vamos resolver essa integral usando substituição.
Passo 5
Fazemos a substituição . Então, . A integral vira:
Passo 6
Essa nova integral é:
À medida que tende ao infinito, também tende ao infinito. Portanto, a integral diverge.
Passo 7
Como a integral diverge, pelo Teste da Integral, a série original também diverge.