(2,0 p)- Sobre sequências de funções:
b) Mostre que se fn(x) é uma sequência de funções contínuas no intevalo fechado [a, b] que converge uniformemente para f neste intervalo então
lim n infty integrala^b fn(x) d x=integrala^b f(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que, se temos uma sequência de funções contínuas no intervalo fechado que converge uniformemente para uma função nesse mesmo intervalo, então o limite da integral de de a quando tende ao infinito é igual à integral de de a .
Isso envolve conceitos de cálculo de sequências de funções, continuidade, convergência uniforme e integração. Vamos precisar usar o Teorema da Convergência Uniforme para funções contínuas e propriedades da integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa convergência uniforme. Dizemos que a sequência converge uniformemente para no intervalo se, para todo , existe um número tal que, para todo e para todo em , a distância .
Isso é importante porque a convergência uniforme garante que a velocidade de convergência é a mesma em todo o intervalo, o que é mais forte que a convergência ponto a ponto.

Passo 3

Agora, sabemos que cada é contínua no intervalo e que a convergência é uniforme para . Há um teorema chamado Teorema da Convergência Uniforme que nos diz exatamente o que precisamos: se uma sequência de funções contínuas converge uniformemente para uma função , então também é contínua, e a integral de converge para a integral de .

Passo 4

Vamos formalizar isso. Pelo Teorema da Convergência Uniforme, temos:
limn to infty integrala^b fn(x) , dx = integrala^b limn to infty fn(x) , dx = integrala^b f(x) , dx
A igualdade é justificada pela convergência uniforme, que permite trocar o limite com a integral.

Passo 5

Portanto, mostramos que a condição de convergência uniforme das funções contínuas para no intervalo garante que o limite da integral das é igual à integral de .

Resposta

Assim, comprovamos que
limn infty integrala^b fn(x) , dx = integrala^b f(x) , dx

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