(2,0 p)- Sobre sequências de funções:
b) Mostre que se
é uma sequência de funções contínuas no intevalo fechado
que converge uniformemente para
neste intervalo então
b) Mostre que se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que, se temos uma sequência de funções contínuas
no intervalo fechado
que converge uniformemente para uma função
nesse mesmo intervalo, então o limite da integral de
de
a
quando
tende ao infinito é igual à integral de
de
a
.
Isso envolve conceitos de cálculo de sequências de funções, continuidade, convergência uniforme e integração. Vamos precisar usar o Teorema da Convergência Uniforme para funções contínuas e propriedades da integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa convergência uniforme. Dizemos que a sequência
converge uniformemente para
no intervalo
se, para todo
, existe um número
tal que, para todo
e para todo
em
, a distância
.
Isso é importante porque a convergência uniforme garante que a velocidade de convergência é a mesma em todo o intervalo, o que é mais forte que a convergência ponto a ponto.
Passo 3
Agora, sabemos que cada
é contínua no intervalo
e que a convergência é uniforme para
. Há um teorema chamado Teorema da Convergência Uniforme que nos diz exatamente o que precisamos: se uma sequência de funções contínuas converge uniformemente para uma função
, então
também é contínua, e a integral de
converge para a integral de
.
Passo 4
Vamos formalizar isso. Pelo Teorema da Convergência Uniforme, temos:
A igualdade
é justificada pela convergência uniforme, que permite trocar o limite com a integral.
Passo 5
Portanto, mostramos que a condição de convergência uniforme das funções contínuas
para
no intervalo
garante que o limite da integral das
é igual à integral de
.
Resposta
Assim, comprovamos que
Exercícios relacionados
(3,0 p) - Determine se as séries convergem:
c)
c)
Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
(e)
(e)
Nos exercícios a seguir, encontre o comprimento de arco da curva de
até
(b) ;
(b)
Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais.