Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
(e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de variáveis separáveis: . Aqui, estamos lidando com uma equação que envolve derivadas e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar separar as variáveis e e integrar ambos os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a derivada como :

Passo 3

Nosso objetivo é separar as variáveis e em lados opostos da equação. Para fazer isso, vamos multiplicar ambos os lados por e dividir por :
Aqui, usamos as propriedades dos expoentes para reorganizar os termos.

Passo 4

Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados da equação:

Passo 5

Vamos resolver as integrais:
  • A integral de em relação a é .
  • A integral de em relação a é .
Então, temos:
Onde é uma constante geral.

Passo 6

Agora, vamos resolver para . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 2:
Aqui, ainda é uma constante.

Passo 7

Para isolar , vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:

Passo 8

Finalmente, dividimos por 2 para obter :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante de integração.

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