Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de variáveis separáveis:
. Aqui, estamos lidando com uma equação que envolve derivadas e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar separar as variáveis
e
e integrar ambos os lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a derivada
como
:
Passo 3
Nosso objetivo é separar as variáveis
e
em lados opostos da equação. Para fazer isso, vamos multiplicar ambos os lados por
e dividir por
:
Aqui, usamos as propriedades dos expoentes para reorganizar os termos.
Passo 4
Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados da equação:
Passo 5
Vamos resolver as integrais:
- A integral de
em relação a é . - A integral de
em relação a é .
Então, temos:
Onde
é uma constante geral.
Passo 6
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 2:
Aqui,
ainda é uma constante.
Passo 7
Para isolar
, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 8
Finalmente, dividimos por 2 para obter
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
é uma constante de integração.
Exercícios relacionados
(3,0 p) - Determine se as séries convergem:
b)
b)
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
©
©
(3,0 p) - Determine se as séries convergem:
c)
c)
(2,0 p)- Sobre sequências de funções:
b) Mostre que se é uma sequência de funções contínuas no intevalo fechado
que converge uniformemente para
neste intervalo então
b) Mostre que se