Determine se as séries dadas convergem ou divergem. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se a série converge ou diverge. Isso está dentro da matéria de Séries Numéricas, mais especificamente sobre Teste da Razão e Séries Geométricas. Vamos precisar entender como comparar termos de séries e aplicar testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série: . Podemos reescrever como , então temos:

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador . À medida que aumenta, cresce muito mais rápido que , então podemos aproximar para valores grandes de .

Passo 4

Com essa aproximação, nosso termo fica:

Passo 5

Agora, a série se assemelha a uma Série Geométrica, que tem a forma , onde é o primeiro termo e é a razão.

Passo 6

Na nossa série, e . Sabemos que uma série geométrica converge se e diverge se .

Passo 7

Aqui, . Como a razão é maior que 1, a série geométrica correspondente diverge.

Passo 8

Portanto, pela comparação com uma série geométrica que diverge, podemos concluir que a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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