Determine se as séries dadas convergem ou divergem. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se a série converge ou diverge. Isso está dentro da matéria de Séries Numéricas, mais especificamente sobre Teste da Razão e Séries Geométricas. Vamos precisar entender como comparar termos de séries e aplicar testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série: . Podemos reescrever como , então temos:
Passo 3
Agora, vamos analisar o denominador . À medida que aumenta, cresce muito mais rápido que , então podemos aproximar para valores grandes de .
Passo 4
Com essa aproximação, nosso termo fica:
Passo 5
Agora, a série se assemelha a uma Série Geométrica, que tem a forma , onde é o primeiro termo e é a razão.
Passo 6
Na nossa série, e . Sabemos que uma série geométrica converge se e diverge se .
Passo 7
Aqui, . Como a razão é maior que 1, a série geométrica correspondente diverge.
Passo 8
Portanto, pela comparação com uma série geométrica que diverge, podemos concluir que a série original também diverge.