Determine os valores máximo e mínimo locais e os pontos de sela das funções a seguir
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela da função
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente otimização de funções de duas variáveis. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, a gente calcula as derivadas parciais de
em relação a
e
e as iguala a zero.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Agora, igualamos ambas as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações (1) e (2) para encontrar
e
.
Da equação (1):
Substituindo
na equação (2):
Simplificando:
Agora que temos
, substituímos na expressão
:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 4
Agora que encontramos o ponto crítico, vamos usar o teste da segunda derivada para determinar se é máximo, mínimo ou ponto de sela.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
No ponto crítico
, substituímos:
Passo 5
Agora, calculamos o discriminante
para o teste:
Como
e
, isso indica que o ponto crítico
é um ponto de máximo local.
Resposta
A função
possui um máximo local no ponto
e não apresenta mínimos locais ou pontos de sela.
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