Determine os valores máximo e mínimo locais e os pontos de sela das funções a seguir

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela da função . Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente otimização de funções de duas variáveis. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, a gente calcula as derivadas parciais de em relação a e e as iguala a zero.
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:
Agora, igualamos ambas as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações (1) e (2) para encontrar e .
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Simplificando:
Agora que temos , substituímos na expressão :
Então, o ponto crítico é .

Passo 4

Agora que encontramos o ponto crítico, vamos usar o teste da segunda derivada para determinar se é máximo, mínimo ou ponto de sela.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
No ponto crítico , substituímos:

Passo 5

Agora, calculamos o discriminante para o teste:
Como e , isso indica que o ponto crítico é um ponto de máximo local.

Resposta

A função possui um máximo local no ponto e não apresenta mínimos locais ou pontos de sela.

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