As séries dadas a seguir são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta. sumn=1^infty n5^n

Passo 1

Vamos analisar a série . A tarefa é determinar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre séries infinitas e aplicar um teste de convergência apropriado.

Passo 2

Observamos que os termos da série são da forma , onde está no numerador e uma potência de 5 está no denominador. Esse tipo de série sugere que podemos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert) para verificar a convergência.

Passo 3

O Teste da Razão funciona assim: calculamos o limite
L = limn to infty | an+1an |
onde . Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste não dá uma resposta conclusiva.

Passo 4

Vamos calcular esse limite:
L = limn to infty | n+15^n+1n5^n | = limn to infty n+15^n+1 times 5^nn = limn to infty n+15n = limn to infty 1 + 1n5 = 15

Passo 5

Como , de acordo com o Teste da Razão, a s��rie converge.

Resposta

A série é convergente.

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