As séries dadas a seguir são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta.
Passo 1
Vamos analisar a série . A tarefa é determinar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre séries infinitas e aplicar um teste de convergência apropriado.
Passo 2
Observamos que os termos da série são da forma , onde está no numerador e uma potência de 5 está no denominador. Esse tipo de série sugere que podemos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert) para verificar a convergência.
Passo 3
O Teste da Razão funciona assim: calculamos o limite
onde . Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste não dá uma resposta conclusiva.
Passo 4
Vamos calcular esse limite:
L = limn to infty | n+15^n+1n5^n | = limn to infty n+15^n+1 times 5^nn = limn to infty n+15n = limn to infty 1 + 1n5 = 15
Passo 5
Como , de acordo com o Teste da Razão, a s��rie converge.