Verifique se cada uma das séries abaixo converge ou diverge. Em caso de convergir, determine sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a série
converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos encontrar a soma dela. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Série p, que é uma ferramenta bem útil para esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, lembrando rapidinho o que é uma série p: é uma série do tipo
, onde
é um número real positivo. O Teste da Série p nos diz que:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge.
No nosso caso, a série é
. Comparando com a fórmula geral, vemos que
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Série p:
- Calculando
, que claramente é maior que 1.
Segundo o teste, como
, a série converge.
Passo 4
Agora, sobre a soma da série: para séries p com
, sabemos que elas convergem para um valor finito, mas calcular essa soma exata geralmente envolve funções avançadas, como a função zeta de Riemann. No nosso caso, a soma seria representada por
, que é uma constante conhecida, mas não tem uma expressão simples em termos de números racionais ou radicais.
Resposta
A série
converge e sua soma é igual a
, um valor finito.
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diverge.
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