Verifique se cada uma das séries abaixo converge ou diverge. Em caso de convergir, determine sua soma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a série converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos encontrar a soma dela. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Série p, que é uma ferramenta bem útil para esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, lembrando rapidinho o que é uma série p: é uma série do tipo , onde é um número real positivo. O Teste da Série p nos diz que:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
No nosso caso, a série é . Comparando com a fórmula geral, vemos que .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Série p:
  • Calculando , que claramente é maior que 1.
Segundo o teste, como , a série converge.

Passo 4

Agora, sobre a soma da série: para séries p com , sabemos que elas convergem para um valor finito, mas calcular essa soma exata geralmente envolve funções avançadas, como a função zeta de Riemann. No nosso caso, a soma seria representada por , que é uma constante conhecida, mas não tem uma expressão simples em termos de números racionais ou radicais.

Resposta

A série converge e sua soma é igual a , um valor finito.

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