Verifique se as séries a seguir convergem ou divergem. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. A gente tem a série infinita:
O objetivo é verificar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de séries alternadas e testes de convergência, como o Teste da Série Alternada.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão . Sabemos que:
Como e , sobra:
Então, a série original fica:
Passo 3
Agora, percebemos que essa é uma série alternada, ou seja, os termos alternam sinais positivos e negativos. Para testar a convergência de séries alternadas, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que a série converge se:
para todo .
é uma sequência decrescente.
.
Vamos verificar cada um desses pontos.
Passo 4
Primeiro, . Claramente, para todo , então a primeira condição tá satisfeita.
Segundo, vamos ver se é decrescente. Observamos que, conforme aumenta, também aumenta, o que faz com que o denominador aumente. Isso significa que diminui conforme cresce. Então, a sequência é decrescente.
Terceiro, calculamos o limite de quando tende ao infinito:
Portanto, todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, indicando que a série converge.
Passo 5
Mas espera aí! Vamos verificar se a série converge absolutamente ou condicionalmente. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
Vamos comparar essa série com a série , que é uma série p com . Sabemos que séries p com divergem. Então, a série também diverge, já que é maior ou igual a para todo .