Verifique se as séries a seguir convergem ou divergem. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. A gente tem a série infinita:
O objetivo é verificar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de séries alternadas e testes de convergência, como o Teste da Série Alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Sabemos que:
Como e , sobra:
Então, a série original fica:

Passo 3

Agora, percebemos que essa é uma série alternada, ou seja, os termos alternam sinais positivos e negativos. Para testar a convergência de séries alternadas, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que a série converge se:
  1. para todo .
  2. é uma sequência decrescente.
  3. .
Vamos verificar cada um desses pontos.

Passo 4

Primeiro, . Claramente, para todo , então a primeira condição tá satisfeita.
Segundo, vamos ver se é decrescente. Observamos que, conforme aumenta, também aumenta, o que faz com que o denominador aumente. Isso significa que diminui conforme cresce. Então, a sequência é decrescente.
Terceiro, calculamos o limite de quando tende ao infinito:
Portanto, todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, indicando que a série converge.

Passo 5

Mas espera aí! Vamos verificar se a série converge absolutamente ou condicionalmente. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
Vamos comparar essa série com a série , que é uma série p com . Sabemos que séries p com divergem. Então, a série também diverge, já que é maior ou igual a para todo .

Resposta

A série converge condicionalmente.

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Mostre que a série diverge.
Verifique se cada uma das séries abaixo converge ou diverge. Em caso de convergir, determine sua soma.
Verifique se cada uma das séries abaixo converge ou diverge. Em caso de convergir, determine sua soma.
Determine se as séries dadas convergem ou divergem. Justifique sua resposta.