Verifique se as séries a seguir convergem ou divergem. Justifique sua resposta. sumn=1^infty sen(n+1 / 2) pi1+raizn

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. A gente tem a série infinita:
O objetivo é verificar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de séries alternadas e testes de convergência, como o Teste da Série Alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Sabemos que:
Como e sen(npi + pi2) = sen(npi)cos(pi2) + cos(npi)sen(pi2) , sobra:
Então, a série original fica:
sen(npi + pi2) = cos(npi) cdot 1 = (-1)^n

Passo 3

Agora, percebemos que essa é uma série alternada, ou seja, os termos alternam sinais positivos e negativos. Para testar a convergência de séries alternadas, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que a série converge se:
  1. para todo .
  2. é uma sequência decrescente.
  3. .
Vamos verificar cada um desses pontos.

Passo 4

Primeiro, limn to infty 11+raizn = 0 . Claramente, para todo , então a primeira condição tá satisfeita.
Segundo, vamos ver se é decrescente. Observamos que, conforme aumenta, também aumenta, o que faz com que o denominador aumente. Isso significa que diminui conforme cresce. Então, a sequência é decrescente.
Terceiro, calculamos o limite de quando tende ao infinito:
Portanto, todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, indicando que a série converge.

Passo 5

Mas espera aí! Vamos verificar se a série converge absolutamente ou condicionalmente. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n1+raizn | = sumn=1^infty 11+raizn
Vamos comparar essa série com a série , que é uma série p com . Sabemos que séries p com divergem. Então, a série também diverge, já que é maior ou igual a para todo .

Resposta

A série converge condicionalmente.

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