Determine se as séries a seguir convergem ou divergem. sumn=0^infty(n2 n+1)^n.

Passo 1

Então, a gente tem essa série aqui: sumn=0^infty(n2 n+1)^n. A missão é descobrir se ela converge, ou seja, se a soma dos termos chega a um número finito, ou diverge, que é quando a soma não tem um limite e cresce sem parar. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Raiz, que é uma técnica bacana para analisar séries desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Raiz. Nesse teste, a gente calcula o limite da raiz enésima do termo geral da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge; se for igual a 1, o teste não conclui nada. A fórmula é:
L = limn to infty raiz[n]|an|
Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa série. O termo geral é an = (n2n + 1)^n. Vamos calcular a raiz enésima desse termo:
raiz[n]an = raiz[n](n2n + 1)^n = n2n + 1

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular o limite desse resultado quando n tende ao infinito:
L = limn to infty n2n + 1
Para simplificar, dividimos o numerador e o denominador por n:
L = limn to infty 12 + 1n = 12 + 0 = 12

Passo 5

Então, encontramos que L = 12. Segundo o Teste da Raiz, se L < 1, a série converge. No nosso caso, 12 é claramente menor que 1.

Resposta

A série sumn=0^infty(n2 n+1)^n converge.

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