Determine se as séries a seguir convergem ou divergem.
.
Passo 1
Então, a gente tem essa série aqui:
. A missão é descobrir se ela converge, ou seja, se a soma dos termos chega a um número finito, ou diverge, que é quando a soma não tem um limite e cresce sem parar. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Raiz, que é uma técnica bacana para analisar séries desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Raiz. Nesse teste, a gente calcula o limite da raiz enésima do termo geral da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge; se for igual a 1, o teste não conclui nada. A fórmula é:
Se
, a série converge; se
, diverge.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa série. O termo geral é
. Vamos calcular a raiz enésima desse termo:
Passo 4
Em seguida, precisamos calcular o limite desse resultado quando
tende ao infinito:
Para simplificar, dividimos o numerador e o denominador por
:
Passo 5
Então, encontramos que
. Segundo o Teste da Raiz, se
, a série converge. No nosso caso,
é claramente menor que 1.
Resposta
A série
converge.
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Determine as séries de Fourier das funçõess abaixo (definidas em um período):
Determine se as séries a seguir convergem ou divergem.
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