Determine se as séries geométricas abaixo são convergentes ou divergentes. Se for convergente, calcule sua soma. sumn=1^infty pi^n-13^n.
Dica: lembre que a série geométrica tem formato
sumn=1^infty a r^n-1
onde a é uma constante e r é a razão. Quando:
  • |r|<1, a série converge e sua soma é dada pela fórmula
sumn=1^infty a r^n-1=a1-r
;
  • |r| >= 1, a série diverge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série geométrica converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de séries geométricas. Precisaremos identificar a primeira constante e a razão da série para aplicar os critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série de uma forma que fique mais fácil de identificar sumn=1^infty pi^n-13^n e pi^n-13^n = (pi3)^n-1 times 13 . A série dada é:
sumn=1^infty 13 (pi3)^n-1
Podemos separar os termos da seguinte maneira:
Assim, a série fica:
Comparando com a forma geral da série geométrica , identificamos que:

Passo 3

Agora, vamos verificar o valor absoluto da razão |r| = |pi3| approx 3,14163 approx 1,0472 para determinar a convergência da série. A regra diz que:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
Calculando :
Como , temos que .

Resposta

A série diverge porque a razão tem módulo maior que 1.

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