Determine se as séries geométricas abaixo são convergentes ou divergentes. Se for convergente, calcule sua soma. sumn=1^infty pi^n-13^n.
Dica: lembre que a série geométrica tem formato
sumn=1^infty a r^n-1
onde a é uma constante e r é a razão. Quando:
  • |r|<1, a série converge e sua soma é dada pela fórmula
sumn=1^infty a r^n-1=a1-r
;
  • |r| >= 1, a série diverge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série geométrica converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de séries geométricas. Precisaremos identificar a primeira constante e a razão da série para aplicar os critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série de uma forma que fique mais fácil de identificar sumn=1^infty pi^n-13^n e pi^n-13^n = (pi3)^n-1 times 13 . A série dada é:
sumn=1^infty 13 (pi3)^n-1
Podemos separar os termos da seguinte maneira:
Assim, a série fica:
Comparando com a forma geral da série geométrica , identificamos que:

Passo 3

Agora, vamos verificar o valor absoluto da razão |r| = |pi3| approx 3,14163 approx 1,0472 para determinar a convergência da série. A regra diz que:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
Calculando :
Como , temos que .

Resposta

A série diverge porque a razão tem módulo maior que 1.

Exercícios relacionados

Use o teste da razão para estudar a convergência ou divergência das seguintes séries: sumn=1^infty (-3)^n(2 n+1)!
Use o teste das séries alternadas e teste as seguintes séries quanto a convergência ou divergência. Em seguida, verifique se também são absolutamente convergentes. sumn=1^infty(-1)^n-1 12 n+1
As séries abaixo são p-séries. Encontre seu termo geral e o valor de p. Em seguida, diga se a série converge ou diverge. 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + 1/125 + ...
Use os testes da comparação para determinar se as seguintes séries convergem ou divergem. sumn=1^infty n2 n^3+1. Dica: use o teste da comparação direta com a p-série sumn=1^infty 1n^2