Determine se as séries geométricas abaixo são convergentes ou divergentes. Se for convergente, calcule sua soma. .
Dica: lembre que a série geométrica tem formato
onde é uma constante e é a razão. Quando:
, a série converge e sua soma é dada pela fórmula
;
, a série diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série geométrica converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de séries geométricas. Precisaremos identificar a primeira constante e a razão da série para aplicar os critérios de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série de uma forma que fique mais fácil de identificar e . A série dada é:
Podemos separar os termos da seguinte maneira:
Assim, a série fica:
Comparando com a forma geral da série geométrica , identificamos que:
Passo 3
Agora, vamos verificar o valor absoluto da razão para determinar a convergência da série. A regra diz que:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Calculando :
Como , temos que .
Resposta
A série diverge porque a razão tem módulo maior que 1.