As séries abaixo são p-séries. Encontre seu termo geral e o valor de p. Em seguida, diga se a série converge ou diverge. 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + 1/125 + ...

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos uma série que é chamada de p-série: 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + 1/125 + .... A gente precisa encontrar o termo geral dessa série, descobrir o valor de p e dizer se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o conhecimento sobre p-séries e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Olhando os termos, vemos que eles podem ser escritos da seguinte forma:
Então, o termo geral da série é .

Passo 3

Agora, vamos identificar o valor de p. Na expressão , comparando com o que encontramos, vemos que .

Passo 4

Com o valor de p em mãos, podemos determinar se a série converge ou diverge. Sabemos que para uma p-série da forma :
  • Se p > 1, a série converge.
  • Se p <= 1, a série diverge.
No nosso caso, , que é maior que 1. Portanto, a série converge.

Resposta

O termo geral da série é , o valor de p é 3 e a série converge.

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