As séries abaixo são p-séries. Encontre seu termo geral e o valor de p. Em seguida, diga se a série converge ou diverge. 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + 1/125 + ...

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos uma série que é chamada de p-série: 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + 1/125 + .... A gente precisa encontrar o termo geral dessa série, descobrir o valor de p e dizer se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o conhecimento sobre p-séries e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Olhando os termos, vemos que eles podem ser escritos da seguinte forma:
Então, o termo geral da série é .

Passo 3

Agora, vamos identificar o valor de p. Na expressão , comparando com o que encontramos, vemos que .

Passo 4

Com o valor de p em mãos, podemos determinar se a série converge ou diverge. Sabemos que para uma p-série da forma :
  • Se p > 1, a série converge.
  • Se p <= 1, a série diverge.
No nosso caso, , que é maior que 1. Portanto, a série converge.

Resposta

O termo geral da série é , o valor de p é 3 e a série converge.

Exercícios relacionados

Determine se as séries geométricas abaixo são convergentes ou divergentes. Se for convergente, calcule sua soma. sumn=1^infty pi^n-13^n.
Dica: lembre que a série geométrica tem formato
sumn=1^infty a r^n-1
onde a é uma constante e r é a razão. Quando:
  • |r|<1, a série converge e sua soma é dada pela fórmula
sumn=1^infty a r^n-1=a1-r
;
  • |r| >= 1, a série diverge.
Use o teste da razão para estudar a convergência ou divergência das seguintes séries: sumn=1^infty (-3)^n(2 n+1)!
Use os testes da comparação para determinar se as seguintes séries convergem ou divergem. sumn=1^infty n2 n^3+1. Dica: use o teste da comparação direta com a p-série sumn=1^infty 1n^2
Use os testes da comparação para determinar se as seguintes séries convergem ou divergem. sumn=2^infty raiznn-1. Dica: use o teste da comparação direta com a p-série sumn=1^infty 1raizn