Use o teste das séries alternadas e teste as seguintes séries quanto a convergência ou divergência. Em seguida, verifique se também são absolutamente convergentes. sumn=1^infty(-1)^n-1 12 n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita alternada: . Nosso objetivo é descobrir se essa série converge ou diverge usando o Teste das Séries Alternadas. Depois disso, a gente também vai verificar se ela é absolutamente convergente, ou seja, se a série formada pelos valores absolutos dos termos também converge. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e os critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste das Séries Alternadas. Esse teste é útil para séries que têm termos que alternam sinais, como é o caso aqui com . O teste diz que se os termos são positivos, decrescentes e tendem a zero quando vai para o infinito, então a série alternada converge.

Passo 3

Vamos verificar cada uma dessas condições:
  1. Positivos: é sempre positivo porque o denominador é sempre positivo para todo .
  2. Decrescentes: A sequência está diminuindo? Vamos ver: para , ; para , ; para , , e assim por diante. Claramente, cada termo é menor que o anterior, então a sequência é decrescente.
  3. Tendência a zero: . Sim, os termos tendem a zero quando cresce.

Passo 4

Como todas as condições do Teste das Séries Alternadas foram satisfeitas, podemos concluir que a série converge.

Passo 5

Agora, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos dos termos: .

Passo 6

A série 12n+1 > 13n para todo n >= 1 é parecida com a série harmônica , que sabemos que diverge. De fato, podemos comparar os termos:
Como também diverge (é uma constante múltiplo da série harmônica), pela Comparação, a série também diverge.

Resposta

A série converge pelo Teste das Séries Alternadas, mas não é absolutamente convergente.

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