Use o teste das séries alternadas e teste as seguintes séries quanto a convergência ou divergência. Em seguida, verifique se também são absolutamente convergentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita alternada: . Nosso objetivo é descobrir se essa série converge ou diverge usando o Teste das Séries Alternadas. Depois disso, a gente também vai verificar se ela é absolutamente convergente, ou seja, se a série formada pelos valores absolutos dos termos também converge. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e os critérios de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste das Séries Alternadas. Esse teste é útil para séries que têm termos que alternam sinais, como é o caso aqui com . O teste diz que se os termos são positivos, decrescentes e tendem a zero quando vai para o infinito, então a série alternada converge.
Passo 3
Vamos verificar cada uma dessas condições:
Positivos: é sempre positivo porque o denominador é sempre positivo para todo .
Decrescentes: A sequência está diminuindo? Vamos ver: para , ; para , ; para , , e assim por diante. Claramente, cada termo é menor que o anterior, então a sequência é decrescente.
Tendência a zero: . Sim, os termos tendem a zero quando cresce.
Passo 4
Como todas as condições do Teste das Séries Alternadas foram satisfeitas, podemos concluir que a série converge.
Passo 5
Agora, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos dos termos: .
Passo 6
A série 12n+1 > 13n para todo n >= 1 é parecida com a série harmônica , que sabemos que diverge. De fato, podemos comparar os termos:
Como também diverge (é uma constante múltiplo da série harmônica), pela Comparação, a série também diverge.
Resposta
A série converge pelo Teste das Séries Alternadas, mas não é absolutamente convergente.