Determine se as séries geométricas convergem ou divergem; se convergir, calcule sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a série geométrica converge ou diverge. Se ela convergir, a gente precisa calcular a soma. Para isso, vamos precisar entender o que é uma série geométrica e quais são as condições para ela convergir.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série geométrica. É uma somatória dos termos de uma sequência onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão fixa, chamada de razão comum (). A forma geral de uma série geométrica é:
Onde:
é o primeiro termo da série.
é a razão comum.
Passo 3
Agora, vamos identificar os valores de e na nossa série. A série dada é:
Aqui, podemos reescrever a série começando de para facilitar a identificação:
Então:
Passo 4
Para determinar se a série converge, precisamos verificar a condição de convergência de uma série geométrica: a série converge se o valor absoluto da razão comum for menor que 1, ou seja, .
No nosso caso:
Então, a série converge.
Passo 5
Como a série converge, podemos calcular a soma dela usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita: