Determine se as séries geométricas convergem ou divergem; se convergir, calcule sua soma.
sumn=1^infty 37(100)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a série geométrica sumn=1^infty 37(100)^n converge ou diverge. Se ela convergir, a gente precisa calcular a soma. Para isso, vamos precisar entender o que é uma série geométrica e quais são as condições para ela convergir.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série geométrica. É uma somatória dos termos de uma sequência onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão fixa, chamada de razão comum ( r). A forma geral de uma série geométrica é:
sumn=0^infty ar^n
Onde:
  • a é o primeiro termo da série.
  • r é a razão comum.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores de a e r na nossa série. A série dada é:
sumn=1^infty 37(100)^n
Aqui, podemos reescrever a série começando de n=0 para facilitar a identificação:
sumn=0^infty 37(100)^n+1 = 37100 sumn=0^infty (1100)^n
Então:
  • a = 37100
  • r = 1100

Passo 4

Para determinar se a série converge, precisamos verificar a condição de convergência de uma série geométrica: a série converge se o valor absoluto da razão comum for menor que 1, ou seja, |r| < 1.
No nosso caso:
|r| = |1100| = 1100 < 1
Então, a série converge.

Passo 5

Como a série converge, podemos calcular a soma dela usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a1 - r
Substituindo os valores que encontramos:
S = 371001 - 1100 = 3710099100 = 3799

Resposta

A série geométrica sumn=1^infty 37(100)^n converge e a sua soma é 3799.

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