Determine se as séries geométricas convergem ou divergem; se convergir, calcule sua soma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a série geométrica converge ou diverge. Se ela convergir, a gente precisa calcular a soma. Para isso, vamos precisar entender o que é uma série geométrica e quais são as condições para ela convergir.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série geométrica. É uma somatória dos termos de uma sequência onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão fixa, chamada de razão comum ( ). A forma geral de uma série geométrica é:
Onde:
  • é o primeiro termo da série.
  • é a razão comum.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores de e na nossa série. A série dada é:
Aqui, podemos reescrever a série começando de para facilitar a identificação:
Então:

Passo 4

Para determinar se a série converge, precisamos verificar a condição de convergência de uma série geométrica: a série converge se o valor absoluto da razão comum for menor que 1, ou seja, .
No nosso caso:
Então, a série converge.

Passo 5

Como a série converge, podemos calcular a soma dela usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A série geométrica converge e a sua soma é .

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Obtenha a solução geral
Qual a notação para descrever as seguintes funções?
c) associa cada número real não nulo seu inverso multiplicativo.
Qual a notação para descrever as seguintes funções?
d) associa cada número real negativo ao número 2 .
Resolva as seguintes P.V.I.