Obtenha a solução geral
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o enunciado da questão. Temos a equação diferencial
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral para
em função de
. Para resolver isso, vamos precisar utilizar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares e propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Para simplificar a equação, vamos eliminar o logaritmo natural aplicando a função exponencial em ambos os lados. Isso nos dá:
Sabemos que
, então a equação simplifica para:
Passo 3
Agora, temos uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma padrão:
Onde
e
.
Para resolver isso, usamos o fator integrante
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Percebemos que o lado esquerdo é a derivada do produto
:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
O que nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: