Obtenha a solução geral

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o enunciado da questão. Temos a equação diferencial . Nosso objetivo é encontrar a solução geral para em função de . Para resolver isso, vamos precisar utilizar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares e propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Para simplificar a equação, vamos eliminar o logaritmo natural aplicando a função exponencial em ambos os lados. Isso nos dá:
Sabemos que , então a equação simplifica para:

Passo 3

Agora, temos uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma padrão:
Onde e .
Para resolver isso, usamos o fator integrante .

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Percebemos que o lado esquerdo é a derivada do produto :

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a :
O que nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, resolvemos para dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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