Beleza, vamos resolver o Problema de Valor Inicial (P.V.I.) que você enviou. A equação que temos é:
Esse tipo de problema pertence ao estudo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar aplicar técnicas de separação de variáveis e integração, explicando cada passo de forma clara.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a resolução. Temos:
Queremos separar as variáveis e para integrar ambos os lados. Para isso, vamos rearranjar a equação:
Distribuindo o termo :
Agora, vamos trazer todos os termos com para um lado e os termos com para o outro:
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para identificar uma possível integração:
Note que os primeiros dois termos lembram a derivada de um produto. De fato, podemos reconhecer que:
No entanto, nosso termo é , que é a derivada de ou algo similar. Para simplificar, vamos tentar uma substituição.
Passo 4
Vamos fazer a substituição . Assim, . Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :
Substituindo e na equação original:
Passo 5
Agora, vamos isolar :
Portanto:
Passo 6
Vamos separar as variáveis para integrar ambos os lados:
Simplificando a fração do lado esquerdo:
Passo 7
Agora, vamos integrar ambos os lados:
Integrando termos individualmente:
Onde é a constante de integração.
Passo 8
Vamos reorganizar a equação para resolver :
Lembrando que , substituímos de volta:
Essa é a forma implícita da solução da equação diferencial.
Resposta
A solução implícita do P.V.I. é dada por:
Onde é a constante de integração que pode ser determinada usando a condição inicial .