Utilize séries conhecidas, convergentes ou divergentes, para determinar se a série é convergente ou divergente; no caso de convergência, determine a soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar séries que já conhecemos, que podem ser convergentes ou divergentes, para descobrir se a série dada é convergente ou divergente. Se for convergente, ainda tem que descobrir qual é a soma dela. A série que temos é:
Então, vamos precisar trabalhar com séries geométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a série original em duas séries diferentes. Isso vai facilitar a análise. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma:
onde
é o primeiro termo e
é a razão. Essa série converge se o valor absoluto de
for menor que 1 (
) e a soma dela é:
Passo 4
Vamos aplicar isso nas duas séries que separemos.
Primeira série:
Aqui,
e
.
Segunda série:
Aqui,
e
.
Passo 5
Vamos verificar se ambas as séries convergem. Para isso, checamos se
.
- Na primeira série,
, que é menor que 1. - Na segunda série,
, que também é menor que 1.
Como ambas satisfazem
, as duas séries são convergentes.
Passo 6
Agora, vamos calcular a soma de cada uma.
Para a primeira série:
Para a segunda série:
Passo 7
Por fim, somamos as duas somas para obter a soma total da série original:
Resposta
A série é convergente e a sua soma é
.
Exercícios relacionados
Verifique se as equações são equações diferencias ordinárias e caso afirmativo, indique o grau e o tipo de equações.
Determine se as séries geométricas convergem ou divergem; se convergir, calcule sua soma.
Escreva o domínio máximo
das seguintes funções como união de intervalos:
a)
a)
Verifique se as equações são equações diferencias ordinárias e caso afirmativo, indique o grau e o tipo de equações.