Utilize séries conhecidas, convergentes ou divergentes, para determinar se a série é convergente ou divergente; no caso de convergência, determine a soma.
sumn=3^infty[(14)^n+(34)^n]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar séries que já conhecemos, que podem ser convergentes ou divergentes, para descobrir se a série dada é convergente ou divergente. Se for convergente, ainda tem que descobrir qual é a soma dela. A série que temos é:
sumn=3^infty[(14)^n+(34)^n]
Então, vamos precisar trabalhar com séries geométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a série original em duas séries diferentes. Isso vai facilitar a análise. Ou seja:
sumn=3^infty(14)^n + sumn=3^infty(34)^n

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma:
sumn=0^infty ar^n
onde a1 - r é o primeiro termo e é a razão. Essa série converge se o valor absoluto de for menor que 1 ( ) e a soma dela é:

Passo 4

Vamos aplicar isso nas duas séries que separemos.
Primeira série:
sumn=3^infty(14)^n
Aqui, sumn=3^infty(34)^n e .
Segunda série:
Aqui, e .

Passo 5

Vamos verificar se ambas as séries convergem. Para isso, checamos se .
  • Na primeira série, , que é menor que 1.
  • Na segunda série, , que também é menor que 1.
Como ambas satisfazem , as duas séries são convergentes.

Passo 6

Agora, vamos calcular a soma de cada uma.
Para a primeira série:
Soma = a1 - r = 1641 - 14 = 16434 = 164 times 43 = 148
Para a segunda série:
Soma = a1 - r = 27641 - 34 = 276414 = 2764 times 4 = 2716

Passo 7

Por fim, somamos as duas somas para obter a soma total da série original:
148 + 2716 = 1 + 8148 = 8248 = 4124

Resposta

A série é convergente e a sua soma é .

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