II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
l) f(x) = (1 + x^2) cos(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar a série de Maclaurin e o raio de convergência para a função . A série de Maclaurin é basicamente a expansão em série de Taylor centrada em 0. Para resolver isso, vamos utilizar as séries já conhecidas da função e da função polinomial . Também precisamos lembrar que o raio de convergência nos diz até onde essa série é válida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de Maclaurin para . Ela é dada por:
Essa série é bem conhecida e tem um raio de convergência infinito, ou seja, ela converge para todo .

Passo 3

Agora, vamos considerar a função polinomial . Essa função pode ser vista como uma série de Maclaurin também, mas de forma mais simples:
onde , e todos os outros para . Essa “série” também tem raio de convergência infinito, já que é um polinômio.

Passo 4

A próxima etapa é multiplicar as duas séries para obter a série de Maclaurin de . Vamos fazer isso multiplicando cada termo de pela série de :
Usando as séries que temos, substituímos:

Passo 5

Agora, vamos simplificar essa expressão. O primeiro termo já está na forma da série de Maclaurin para . O segundo termo, , é a série de multiplicada por , o que significa que vamos simplesmente aumentar o expoente de em cada termo da série de em 2:
Podemos reescrever o segundo somatório mudando o índice de para :

Passo 6

Para combinar os dois somatórios, observamos que ambos somam termos de . Então, podemos juntar os coeficientes:
Simplificando:

Passo 7

Finalmente, temos a série de Maclaurin para :
E como tanto quanto o polinômio têm raio de convergência infinito, o raio de convergência da série de também é infinito.

Resposta

A série de Maclaurin de é:
E o raio de convergência é infinito.

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