II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
l)
l)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar a série de Maclaurin e o raio de convergência para a função
. A série de Maclaurin é basicamente a expansão em série de Taylor centrada em 0. Para resolver isso, vamos utilizar as séries já conhecidas da função
e da função polinomial
. Também precisamos lembrar que o raio de convergência nos diz até onde essa série é válida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de Maclaurin para
. Ela é dada por:
Essa série é bem conhecida e tem um raio de convergência infinito, ou seja, ela converge para todo
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a função polinomial
. Essa função pode ser vista como uma série de Maclaurin também, mas de forma mais simples:
onde
,
e todos os outros
para
. Essa “série” também tem raio de convergência infinito, já que é um polinômio.
Passo 4
A próxima etapa é multiplicar as duas séries para obter a série de Maclaurin de
. Vamos fazer isso multiplicando cada termo de
pela série de
:
Usando as séries que temos, substituímos:
Passo 5
Agora, vamos simplificar essa expressão. O primeiro termo já está na forma da série de Maclaurin para
. O segundo termo,
, é a série de
multiplicada por
, o que significa que vamos simplesmente aumentar o expoente de
em cada termo da série de
em 2:
Podemos reescrever o segundo somatório mudando o índice de
para
:
Passo 6
Para combinar os dois somatórios, observamos que ambos somam termos de
. Então, podemos juntar os coeficientes:
Simplificando:
Passo 7
Finalmente, temos a série de Maclaurin para
:
E como tanto
quanto o polinômio
têm raio de convergência infinito, o raio de convergência da série de
também é infinito.
Resposta
A série de Maclaurin de
é:
E o raio de convergência é infinito.