II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
l)
l)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar a série de Maclaurin e o raio de convergência para a função
. A série de Maclaurin é basicamente a expansão em série de Taylor centrada em 0. Para resolver isso, vamos utilizar as séries já conhecidas da função
e da função polinomial
. Também precisamos lembrar que o raio de convergência nos diz até onde essa série é válida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de Maclaurin para
. Ela é dada por:
Essa série é bem conhecida e tem um raio de convergência infinito, ou seja, ela converge para todo
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a função polinomial
. Essa função pode ser vista como uma série de Maclaurin também, mas de forma mais simples:
onde
,
e todos os outros
para
. Essa “série” também tem raio de convergência infinito, já que é um polinômio.
Passo 4
A próxima etapa é multiplicar as duas séries para obter a série de Maclaurin de
. Vamos fazer isso multiplicando cada termo de
pela série de
:
Usando as séries que temos, substituímos:
Passo 5
Agora, vamos simplificar essa expressão. O primeiro termo já está na forma da série de Maclaurin para
. O segundo termo,
, é a série de
multiplicada por
, o que significa que vamos simplesmente aumentar o expoente de
em cada termo da série de
em 2:
Podemos reescrever o segundo somatório mudando o índice de
para
:
Passo 6
Para combinar os dois somatórios, observamos que ambos somam termos de
. Então, podemos juntar os coeficientes:
Simplificando:
Passo 7
Finalmente, temos a série de Maclaurin para
:
E como tanto
quanto o polinômio
têm raio de convergência infinito, o raio de convergência da série de
também é infinito.
Resposta
A série de Maclaurin de
é:
E o raio de convergência é infinito.
Exercícios relacionados
Encontre os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções:
.
A função
é dada como uma função implícita. Encontre
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
q)
q)
Expresse as séries abaixo através de um somatório. Então, inspirados nas séries de Mclaurin conhecidas das quatro funções elementares MAIS DISCUTIDAS em sala de aula, verifique para quais valores
as séries dadas convergem. JUSTIFIQUE. OBS. Cada uma das séries abaixo é o valor de uma série conhecida avaliada num ponto específico.
b) .
b)