II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
q)
q)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a série de Maclaurin e o raio de convergência da função
. Para isso, vamos usar o conhecimento sobre séries de Maclaurin das funções básicas, especialmente da função arco-tangente. Vamos precisar lembrar como expandir
em série e depois adaptar para
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a série de Maclaurin para
. A série de Maclaurin é uma expansão em série de potências centrada em zero. Para
, a série é:
Essa série é válida para
. O raio de convergência aqui é 1, porque a série converge quando o valor absoluto de
é menor ou igual a 1.
Passo 3
Agora, queremos a série de Maclaurin para
. Para isso, basta substituir
por
na série que já temos:
Vamos simplificar a expressão
:
Então, a série fica:
Passo 4
Agora, vamos determinar o raio de convergência da nova série. Sabemos que a série original de
converge para
. Quando substituímos
por
, a condição de convergência fica:
Portanto, o raio de convergência permanece 1.
Resposta
A série de Maclaurin para
é:
E o raio de convergência dessa série é 1.