II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
q)
q)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a série de Maclaurin e o raio de convergência da função
. Para isso, vamos usar o conhecimento sobre séries de Maclaurin das funções básicas, especialmente da função arco-tangente. Vamos precisar lembrar como expandir
em série e depois adaptar para
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a série de Maclaurin para
. A série de Maclaurin é uma expansão em série de potências centrada em zero. Para
, a série é:
Essa série é válida para
. O raio de convergência aqui é 1, porque a série converge quando o valor absoluto de
é menor ou igual a 1.
Passo 3
Agora, queremos a série de Maclaurin para
. Para isso, basta substituir
por
na série que já temos:
Vamos simplificar a expressão
:
Então, a série fica:
Passo 4
Agora, vamos determinar o raio de convergência da nova série. Sabemos que a série original de
converge para
. Quando substituímos
por
, a condição de convergência fica:
Portanto, o raio de convergência permanece 1.
Resposta
A série de Maclaurin para
é:
E o raio de convergência dessa série é 1.
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II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
l)
l)
Encontre os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções:
.
Expresse as séries abaixo através de um somatório. Então, inspirados nas séries de Mclaurin conhecidas das quatro funções elementares MAIS DISCUTIDAS em sala de aula, verifique para quais valores
as séries dadas convergem. JUSTIFIQUE. OBS. Cada uma das séries abaixo é o valor de uma série conhecida avaliada num ponto específico.
b) .
b)
Verifique que as séries abaixo convergem absolutamente nos intervalos dados:
a) .
a)