II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
q) f(x) = arctan(x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a série de Maclaurin e o raio de convergência da função . Para isso, vamos usar o conhecimento sobre séries de Maclaurin das funções básicas, especialmente da função arco-tangente. Vamos precisar lembrar como expandir em série e depois adaptar para .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a série de Maclaurin para . A série de Maclaurin é uma expansão em série de potências centrada em zero. Para , a série é:
Essa série é válida para . O raio de convergência aqui é 1, porque a série converge quando o valor absoluto de é menor ou igual a 1.

Passo 3

Agora, queremos a série de Maclaurin para . Para isso, basta substituir por na série que já temos:
Vamos simplificar a expressão :
Então, a série fica:

Passo 4

Agora, vamos determinar o raio de convergência da nova série. Sabemos que a série original de converge para . Quando substituímos por , a condição de convergência fica:
Portanto, o raio de convergência permanece 1.

Resposta

A série de Maclaurin para é:
E o raio de convergência dessa série é 1.

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